السؤال: أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة : 5، 9، 11، 5، 12، 14، ….
- الإجابة: الحدود الأربعة التالية هي: 5، 15، 17، 5.
شرح الإجابة:
للوهلة الأولى، تبدو هذه السلسلة العددية محيرة ولا تخضع لمنطق رياضي واضح كالمتواليات الحسابية أو الهندسية التقليدية. بيد أن مفتاح الحل يكمن في النظر إلى ما وراء الأرقام المنفردة، وإدراك البنية الخفية التي تنظمها. فالأمر لا يتعلق بعلاقة كل حد بالذي يسبقه مباشرةً، بل بنظام تركيبي أكثر عمقاً يربط الأعداد في مجموعات متناغمة.
إذا ما أمعنا النظر في هيكلية المتتابعة، يتكشّف لنا أنها ليست خطاً متصلاً، بل هي عبارة عن منظومة تتألف من وحدات ثلاثية، أو خلايا عددية، تتكرر وفق نسق معين. كل وحدة من هذه الوحدات تبدأ بالرقم الثابت (5)، ومن ثم يتبعها عددان آخران. دعنا نُجزّئ السلسلة المعطاة لنرى هذا النسق بوضوح: المجموعة الأولى هي (5، 9، 11)، والمجموعة الثانية هي (5، 12، 14).
من خلال تحليل هاتين المجموعتين، تتجلى لنا القاعدة الأساسية الأولى: كل مجموعة ثلاثية تتبع الصيغة (5، س، س + 2). ففي المجموعة الأولى، نجد أن 11 تساوي 9 مضافاً إليها 2. وبالمثل، في المجموعة الثانية، نرى أن 14 تساوي 12 مضافاً إليها 2. لقد كشفنا بذلك عن نصف اللغز، وهو الهيكل الداخلي لكل وحدة.
إقرأ أيضا:ما هو معنى كواعب أتراباوالآن، ننتقل إلى الشق الثاني من اللغز، وهو العلاقة التي تربط هذه الوحدات الثلاثية بعضها ببعض. الرابط يكمن في الحد الأوسط لكل مجموعة، أي المتغير “س”. إذا أخذنا هذه الحدود الوسطى من المجموعات المعطاة، نحصل على متتابعة جديدة وبسيطة هي: 9، 12، … من الواضح أن هذه متوالية حسابية بسيطة، حيث يزداد كل حد عن سابقه بمقدار ثابت وهو 3.
بتطبيق هذه القاعدة المكتشفة، يمكننا استنباط الحدود التالية بكل سهولة. بما أن الحد الأوسط الأخير كان 12، فإن الحد الأوسط التالي في التسلسل سيكون 12 + 3 = 15. ووفقاً لهيكل المجموعة الثلاثية (5، س، س + 2)، فإن المجموعة التالية ستكون (5، 15، 17). وبهذا، نكون قد أوجدنا أول ثلاثة حدود مطلوبة.
يبقى علينا إيجاد الحد الرابع. للقيام بذلك، يجب أن نخطو إلى بداية المجموعة التي تليها. نستمر في تتبع المتوالية الحسابية للحدود الوسطى: بعد الـ 15، يأتي الحد 15 + 3 = 18. هذا يعني أن المجموعة التالية ستبدأ بالرقم الثابت (5)، ويتبعها الحد الأوسط (18)، ثم (20). إن أول رقم في هذه المجموعة الجديدة، وهو الرقم (5)، هو بالضبط الحد الرابع الذي نبحث عنه.
وخلاصة القول، فإن المتتابعة تعمل على مستويين من التنظيم؛ مستوى داخلي ثلاثي قاعدته (5، س، س + 2)، ومستوى خارجي يربط المجموعات من خلال متوالية حسابية بسيطة للمتغير “س”. وبناءً على هذا التحليل المتعمق، فإن الحدود الأربعة التالية في المتتابعة هي على التوالي: 5، 15، 17، 5.
إقرأ أيضا:من هي أول سفيرة في السعودية