أوجد معدل التغير للدالة الخطية بناء على الجدول أدناه

السؤال: أوجد معدل التغير للدالة الخطية بناء على الجدول أدناه.

• الإجابة:زيادة 55 ريالاً في الساعة.

شرح الإجابة:

إن مفهوم “معدل التغير” في سياق الدوال الخطية هو حجر الزاوية لفهم سلوكها؛ فهو يمثل، ببساطة، المقدار الثابت الذي تتغير به قيمة المخرجات (في هذه الحالة، المبلغ بالريالات) كلما تغيرت قيمة المدخلات (وهنا تمثل الزمن بالساعات) بمقدار وحدة واحدة. هذا الثبات في التغير هو ما يمنح الدالة صفتها “الخطية”، ويرسم لها مسارًا مستقيمًا لا يحيد.

ولكي نصل إلى هذا المعدل حسابياً، فإننا نطبق قاعدة جوهرية، وهي قسمة مقدار التغير الرأسي (التغير في القيمة المالية) على مقدار التغير الأفقي (التغير في الزمن). لنفترض أن الجدول المعطى يوضح العلاقة بين عدد ساعات العمل والأجر المستحق كالتالي:

من خلال هذا الجدول، يمكننا اختيار أي نقطتين لاستخراج معدل التغير. ولنأخذ، على سبيل المثال، النقطتين الأولى والثانية: (1, 100) و(2, 155). هنا، يمثل الرقم الأول في كل زوج إحداثي الزمن (المتغير المستقل س)، بينما يمثل الرقم الثاني الأجر (المتغير التابع ص). بتطبيق القانون:

معدل التغير = (التغير في ص) / (التغير في س) = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁)
معدل التغير = (155 – 100) / (2 – 1) = 55 / 1 = 55.

ويتجلى لنا من هذه العملية الحسابية أن القيمة تزداد بمقدار 55 ريالاً لكل ساعة عمل إضافية. وللتأكد من ثبات هذه العلاقة، وهو ما يميز الدالة الخطية، دعنا نكرر الحساب باستخدام زوج مختلف من النقاط، ليكن النقطتين الثالثة والرابعة: (3, 210) و(4, 265).

معدل التغير = (265 – 210) / (4 – 3) = 55 / 1 = 55.

إن تطابق النتيجة يؤكد بما لا يدع مجالاً للشك أننا أمام دالة خطية حقيقية، وأن ميلها أو مقدار تغيرها ثابت ومنتظم. وبناءً على ذلك، فإن الإجابة النهائية والدقيقة هي أن معدل التغير يعبر عن زيادة ثابتة في الأجر قدرها 55 ريالاً عن كل ساعة عمل، وهو ما يترجم طبيعة العلاقة الطردية المستقيمة بين الزمن والأجر في هذا السياق.