السؤال: إذا كان ناتج ضرب عدد في 7 يساوي 182 ومجموع رقميه يساوي 8، فحدد المتغيرات واكتب نظامًا من معادلتين يمكنك استعماله لإيجاد هذا العدد، ثم حل النظام وأوجد العدد.
- الإجابة: العدد هو 26.
شرح الإجابة:
إن جوهر هذه المسألة الرياضية يكمن في القدرة على تحويل الكلمات والمعطيات الوصفية إلى لغة جبرية دقيقة. لنبدأ أولاً بتفكيك بنية العدد المجهول. بما أن العدد مكون من رقمين، فإن له قيمة مكانية؛ أي رقم في منزلة الآحاد وآخر في منزلة العشرات. لنمثل هذه الأرقام بمتغيرات، حيث نرمز لرقم الآحاد بالرمز (أ) ونرمز لرقم العشرات بالرمز (ب).
انطلاقًا من هذا التحديد، نستخلص المعادلة الأولى مباشرة من الشرط الأول: “مجموع رقميه يساوي 8”. هذه العبارة تُترجم بكل بساطة إلى الصيغة الرياضية: أ + ب = ٨. هذه هي الدعامة الأولى التي سنبني عليها حلنا، فهي تربط بين مكوني العدد بشكل مباشر وواضح.
ثم ننتقل إلى الشرط الثاني الأكثر تركيبًا: “ناتج ضرب عدد في 7 يساوي 182”. هنا يجب الانتباه إلى أن قيمة العدد الكلية ليست مجرد (أ+ب)، بل هي تعبير عن قيمته المكانية. فالعدد الذي آحاده (أ) وعشراته (ب) يكتب جبريًا على الصورة (أ + ١٠ب). وبناءً عليه، فإن ضرب هذا المقدار في ٧ يعطينا ١٨٢، مما يقودنا إلى المعادلة الثانية: ٧(أ + ١٠ب) = ١٨٢.
بذلك، يتشكل أمامنا نظام جبري متكامل مؤلف من معادلتين خطيتين بمتغيرين. لحل هذا النظام، نبدأ بتبسيط المعادلة الثانية بقسمة طرفيها على ٧، فتصبح: أ + ١٠ب = ٢٦. الآن أصبح لدينا نظام أكثر وضوحًا:
- أ + ب = ٨
- أ + ١٠ب = ٢٦
والآن، نأتي إلى مرحلة استخلاص الحل عبر طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية، وهو ما يلغي المتغير (أ) بشكل فوري: (أ + ١٠ب) – (أ + ب) = ٢٦ – ٨. ينتج عن هذه العملية: ٩ب = ١٨، ومنها نصل إلى أن قيمة (ب)، أي رقم العشرات، تساوي ٢.
بعد أن كشفنا عن هوية رقم العشرات، يصبح تحديد رقم الآحاد أمرًا يسيرًا. نعود إلى المعادلة الأولى (أ + ب = ٨) ونعوض فيها قيمة (ب) التي وجدناها: أ + ٢ = ٨. وبحل هذه المعادلة البسيطة، نجد أن قيمة (أ) تساوي ٦. وعليه، فإن العدد المطلوب، الذي عشراته ٢ وآحاده ٦، هو ٢٦. وللتحقق من صحة الحل، نجد أن مجموع رقميه ٦+٢=٨، وحاصل ضربه في ٧ هو ٢٦×٧=١٨٢، مما يثبت أننا وصلنا إلى الإجابة الدقيقة.