اختر كسرا اعتياديا يقع بين 0 و 1 وأوجد كلا من نظيريه الجمعي والضربي ووضح إجابتك

السؤال: اختر كسرا اعتياديا يقع بين 0 و 1 وأوجد كلا من نظيريه الجمعي والضربي ووضح إجابتك.

• الإجابة: الكسر هو 2/3، نظيره الجمعي هو -2/3، ونظيره الضربي هو 3/2.

شرح الإجابة:

في عالم الأعداد النسبية، تمثل الكسور الاعتيادية التي تقع قيمتها بين الصفر والواحد فئة خاصة، فهي أعداد موجبة بسطها أصغر من مقامها. لننطلق في رحلتنا الرياضية باختيار الكسر 2/3 كمثال نموذجي، فهو يحقق هذا الشرط بدقة، حيث إن قيمته أكبر من الصفر وأقل من الواحد الصحيح.

وبالانتقال إلى المفهوم الأول، وهو النظير الجمعي أو ما يُعرف بـ “المعكوس الجمعي”، نجد أن فلسفته تقوم على فكرة المعادلة الصفرية. فلكل عدد نسبي نظير جمعي، عند إضافته إلى العدد الأصلي يكون الناتج هو العنصر المحايد الجمعي، أي الصفر. بناءً على هذا المبدأ، فإن النظير الجمعي للكسر 2/3 هو ببساطة نفس القيمة العددية ولكن بإشارة مخالفة، أي -2/3. والدليل على ذلك يتجلى في العملية الحسابية التالية: 2/3 + (-2/3) = 0، وبذلك نصل إلى حالة التوازن الرياضي المتمثل في الصفر.

أما عن الشق الثاني من المسألة، وهو النظير الضربي، والذي يُطلق عليه أيضاً “مقلوب العدد”، فإن منطقه يرتكز على الوصول إلى العنصر المحايد الضربي، وهو الواحد الصحيح. يتطلب تحقيق ذلك قلب الكسر، بحيث يصبح البسط مقاماً والمقام بسطاً. وعليه، فإن النظير الضربي للكسر 2/3 هو 3/2. وعند ضرب الكسر الأصلي في مقلوبه، نحصل على نتيجة حتمية هي الواحد، كما توضح العملية: 2/3 × 3/2 = (2×3) / (3×2) = 6/6 = 1. وهكذا، نرى كيف أن لكل مفهوم رياضي غاية وهدفاً محدداً بدقة متناهية.