السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (9 ، 12) والموازي للمستقيم ص = 13س – 4
- الإجابة: ص = ١٣س – ١٠٥
شرح الإجابة:
إن الوصول إلى معادلة أي خط مستقيم بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب) يقتضي معرفة حقيقتين أساسيتين: معامل الانحدار، أو ما يُعرف بالميل (م)، ونقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي (ب). وفي صميم هذا السؤال تكمن علاقة هندسية جوهرية، وهي التوازي، التي تعد بمثابة المفتاح الأول لحل هذه المسألة الرياضية.
في مستهل الأمر، لا بد من إدراك أن المستقيمات المتوازية تشترك في خاصية واحدة لا تتغير، ألا وهي أن لها نفس درجة الميلان تماماً. بالنظر إلى معادلة المستقيم المُعطى، ص = 13س – 4، نجد أنها مصاغة بالفعل على هيئة الميل والمقطع، مما يكشف لنا مباشرة أن ميله (م) يساوي 13. وبناءً على مبدأ التوازي، فإن المستقيم الجديد الذي نسعى لإيجاد معادلته لا بد أن يمتلك ذات الميل. وهكذا، نكون قد حصلنا على الجزء الأول من المعادلة المطلوبة، لتصبح الصيغة المبدئية هي: ص = 13س + ب.
ينقلنا هذا الاستنتاج إلى المرحلة التالية، وهي تحديد قيمة المقطع الصادي (ب). هنا، يأتي دور النقطة (9، 12) التي يمر بها المستقيم الجديد، فهي توفر لنا إحداثيات (س، ص) مؤكدة تقع على هذا الخط. من هذا المنطلق، نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة التي توصلنا إليها، حيث نضع 12 مكان (ص) و 9 مكان (س). فتتحول المعادلة إلى الشكل التالي: 12 = 13(9) + ب.
والآن، ننتقل إلى الحسابات الجبرية البسيطة لاستخلاص قيمة (ب). عند ضرب 13 في 9، نحصل على الناتج 117، فتصبح المعادلة: 12 = 117 + ب. ولعزل (ب) في طرف بمفرده، نطرح 117 من كلا الطرفين، مما يقودنا إلى أن ب = 12 – 117، أي أن قيمة المقطع الصادي (ب) هي -105. وختاماً، بعد أن تحدد كل من الميل (م = 13) والمقطع الصادي (ب = -105)، نجمع هذه الأجزاء لنصوغ المعادلة النهائية بصورتها الكاملة والأنيقة، وهي: ص = 13س – 105.