اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (-4 ، 2) وميله يساوي -3

السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (-4 ، 2) وميله يساوي -3

• الإجابة: ص = -3س – 10

شرح الإجابة:

إن كل خط مستقيم في فضاء الرياضيات يمكن التعبير عنه بعلاقة جبرية فريدة تربط بين إحداثياته السينية والصادية. ولكي نصوغ هذه العلاقة، نحتاج إلى مفتاحين أساسيين: درجة انحدار الخط، أو ما يُعرف بـ “الميل”، ونقطة واحدة على الأقل يمر بها هذا الخط. وفي حالتنا هذه، نمتلك كلا المفتاحين؛ فلدينا الميل ويساوي -3، ولدينا النقطة التي إحداثياتها هي (-4 ، 2).

انطلاقاً من هذه المعطيات، نبدأ رحلتنا باستخدام صيغة رياضية تُعرف بـ “صيغة الميل والنقطة”، والتي تُعد الأساس لبناء المعادلة. هذه الصيغة هي: ص – ص₁ = م (س – س₁). حيث ترمز (س₁, ص₁) إلى إحداثيات النقطة المعلومة، بينما يمثل الرمز (م) معامل توجيه المستقيم أو ميله. والآن، كل ما علينا فعله هو تعويض القيم التي بحوزتنا في أماكنها المخصصة ضمن هذه البنية الرياضية.

وبناءً عليه، نقوم بإدخال القيمة 2 بدلاً من ص₁، والقيمة -4 بدلاً من س₁، والقيمة -3 بدلاً من م. فتصبح المعادلة على النحو التالي: ص – 2 = -3 (س – (-4)). هنا، نلاحظ أن طرح قيمة سالبة يعادل عملية الجمع، مما يبسط الطرف الأيمن لتصبح المعادلة: ص – 2 = -3 (س + 4). هذه الصيغة صحيحة تمامًا، لكنها ليست الشكل النهائي المطلوب، ألا وهو “صيغة الميل والمقطع”.

وصولاً إلى الهدف المنشود، وهو تحويل المعادلة إلى صيغة “الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، يتوجب علينا إجراء بعض التبسيط الجبري. نبدأ بتوزيع الميل (-3) على القوس (س + 4)، مما ينتج عنه: ص – 2 = -3س – 12. لم يتبقَ الآن سوى خطوة واحدة لعزل المتغير (ص) في طرف بمفرده. نقوم بنقل العدد (-2) من الطرف الأيسر إلى الطرف الأيمن، مع عكس إشارته ليصبح (+2). فتأخذ المعادلة شكلها النهائي: ص = -3س – 12 + 2. وبعد جمع الثوابت، نصل إلى الإجابة النهائية للمعادلة بصيغتها الأكثر وضوحًا وفائدة: ص = -3س – 10.