السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقططة (-3 ، 2) والمعامد للمستقيم ص = -3س + 7
- الإجابة: ص = ١/٣س + ٣
شرح الإجابة:
إن الولوج إلى حل هذه المسألة الهندسية يتطلب منا تفكيك المعطيات بمنهجية تحليلية دقيقة. لدينا معادلة مستقيم قائم وهي ص = -3س + 7، ونقطة محددة في المستوى الإحداثي هي (-3 ، 2). والمطلوب هو صياغة معادلة مستقيم جديد يمر بتلك النقطة ويكون، في ذات الوقت، متعامداً على المستقيم الأول. إن مفتاح الحل يكمن في فهم العلاقة الجوهرية بين ميول المستقيمات المتعامدة.
نبدأ أولاً باستخلاص المعلومة الجوهرية من المعادلة المعطاة ص = -3س + 7. هذه الصيغة، المعروفة بصيغة الميل والمقطع، تكشف لنا مباشرةً عن ميل أو انحدار المستقيم الأول، وهو العدد المضروب بالمتغير (س). بناءً على ذلك، فإن ميل المستقيم الأول هو -3. هذا الرقم هو حجر الزاوية الذي سنبني عليه بقية استنتاجاتنا.
والآن، ننتقل إلى مفهوم التعامد في الهندسة التحليلية. القاعدة الأساسية تنص على أن المستقيمين المتعامدين يمتلكان ميلين تربطهما علاقة محددة: أحدهما هو المقلوب السالب للآخر. بمعنى آخر، حاصل ضرب ميليهما يساوي -1. لتحديد ميل المستقيم الجديد المطلوب، نطبق هذه القاعدة على ميل المستقيم الأول الذي استخرجناه (-3). المقلوب السالب للعدد -3 هو ١/٣. وهكذا، نكون قد حصلنا على ميل المستقيم الجديد بشكل قاطع لا لبس فيه.
بعد تحديد ميل المستقيم الجديد (١/٣) وامتلاكنا لنقطة يمر بها وهي (-3 ، 2)، تكتمل لدينا كل العناصر اللازمة لتشييد معادلته النهائية. نستخدم صيغة النقطة والميل كأداة للوصول إلى الحل: (ص – ص١) = م (س – س١). بالتعويض عن قيم الميل (م) والنقطة (س١، ص١)، نحصل على: ص – 2 = ١/٣ (س – (-3))، والتي تتبسط إلى: ص – 2 = ١/٣ (س + 3).
تبقى الخطوة الأخيرة، وهي تحويل هذه الصيغة إلى الشكل المطلوب، أي صيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب). نقوم بتوزيع الميل (١/٣) على القوس، فتصبح المعادلة: ص – 2 = (١/٣)س + 1. ثم، لعزل المتغير (ص) في طرف بمفرده، ننقل العدد -2 إلى الطرف الآخر من المعادلة مع تغيير إشارته، لنصل إلى المعادلة النهائية: ص = (١/٣)س + 3. هذه هي المعادلة الدقيقة التي تحقق الشرطين معاً: المرور بالنقطة المحددة والتعامد على المستقيم المعطى.