السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة(-4 ، -2) وميله -3/5
- الإجابة: ص = -3/5 س – 22/5
شرح الإجابة:
إن إيجاد معادلة خط مستقيم في فضاء الهندسة التحليلية يرتكز على حقيقتين أساسيتين: نقطة معلومة يمر بها هذا الخط، وميل أو معامل انحدار يحدد اتجاهه وزاوية ميله. وفي مسألتنا هذه، نمتلك كلا المعطيين، فالنقطة هي (-4 ، -2) والميل المحدد هو -3/5. وعليه، فإن نقطة الانطلاق لحل هذه المسألة تكمن في استخدام الصيغة القياسية المعروفة باسم “صيغة الميل والنقطة”، والتي تُعد الأداة الرياضية المثلى لترجمة هذه المعطيات إلى معادلة خطية.
تنص هذه الصيغة الجوهرية على أن: ص – ص₁ = م (س – س₁). حيث تُمثل (س₁، ص₁) إحداثيات النقطة المعلومة، بينما يرمز ‘م’ إلى ميل المستقيم. والآن، ننتقل إلى مرحلة التطبيق المباشر من خلال تعويض قيمنا المحددة في هذه البنية الرياضية. نقوم بإحلال -2 مكان ص₁، و -4 مكان س₁، ثم نضع القيمة -3/5 في موضع الميل ‘م’. فتتشكل لدينا المعادلة الأولية على النحو التالي: ص – (-2) = -3/5 (س – (-4)).
من هنا، تبدأ عملية التبسيط الجبري الدقيق. إن طرح عدد سالب يعادل تماماً عملية الجمع، وعليه تتحول المعادلة إلى صورة أكثر وضوحاً: ص + 2 = -3/5 (س + 4). الخطوة التالية تقتضي فك الأقواس عن طريق توزيع الميل (-3/5) على حدي القوس (س + 4). عند ضرب -3/5 في ‘س’ نحصل على -3/5 س، وعند ضربه في 4 نحصل على -12/5. وبذلك، تصل المعادلة إلى مرحلة جديدة: ص + 2 = -3/5 س – 12/5.
ولكي نصل إلى الشكل النهائي والأكثر شيوعاً لمعادلة المستقيم، وهو “صيغة الميل والمقطع”، يتوجب علينا عزل المتغير ‘ص’ في طرف بمفرده. يستلزم هذا الأمر نقل العدد 2 من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر، وهو ما يتم عن طريق طرح 2 من كلا طرفي المعادلة. فتصبح المعادلة: ص = -3/5 س – 12/5 – 2. وحتى نتمكن من طرح العدد الصحيح 2 من الكسر -12/5، لا بد من توحيد المقامات، حيث إن 2 يعادل 10/5. وعليه، فإن العملية الحسابية تصبح: -12/5 – 10/5، والتي يساوي ناتجها -22/5.
وهكذا، نصل إلى الصورة النهائية للمعادلة التي تصف هذا المستقيم وصفاً رياضياً كاملاً ودقيقاً: ص = -3/5 س – 22/5. هذه المعادلة لا تمثل مجرد حل، بل هي هوية هذا الخط، حيث يخبرنا معامل ‘س’ (-3/5) بمقدار انحداره واتجاهه الهابط، ويحدد لنا الثابت (-22/5) نقطة تقاطعه المحورية مع المحور الصادي، راسماً بذلك مساره الأبدي في المستوى الإحداثي.