السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 4 ، 6) وميله -3/4
- الإجابة: ص = -3/4س + 9
شرح الإجابة:
إن تحديد الهوية الرياضية لخط مستقيم في المستوى الإحداثي يتطلب فهم العلاقة الجوهرية بين ميله ونقطة يمر من خلالها. فالأمر أشبه بمعرفة وجهة شخص ما وسرعته، مما يسمح لنا بتوقع مساره بدقة. في هذا السياق، نرتكز على صيغة رياضية محورية تُعرف بـ “صيغة الميل ونقطة”، والتي تُعد المنطلق الأساسي لحل هذه المسألة. هذه الصيغة هي: ص – ص₁ = م (س – س₁)، حيث تُمثل (س₁، ص₁) إحداثيات النقطة المعلومة، بينما يرمز ‘م’ إلى معامل انحدار المستقيم.
وبناءً على هذا الأساس، نبدأ بتعويض المعطيات التي بين أيدينا ضمن هذه البنية الرياضية. لدينا النقطة (4، 6)، وهذا يعني أن الإحداثي السيني س₁ هو 4، والإحداثي الصادي ص₁ هو 6. كما أن درجة ميلان الخط، أي ‘م’، تساوي -3/4. عند إدخال هذه القيم في أماكنها المخصصة داخل الصيغة، تتشكل لدينا المعادلة الأولية على النحو التالي: ص – 6 = -3/4 (س – 4).
من هنا، ننتقل إلى مرحلة التبسيط الجبري بهدف الوصول إلى الشكل النهائي والأكثر شيوعاً للمعادلة، وهو “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب). الخطوة الأولى في هذه العملية هي فك القوس عبر توزيع الميل (-3/4) على الحد (س – 4). ينتج عن هذه العملية: ص – 6 = (-3/4)س + (-3/4)(-4). حاصل ضرب (-3/4) في (-4) هو 12/4، والذي يساوي 3. فتصبح المعادلة الآن: ص – 6 = -3/4س + 3.
والآن، لم يتبق سوى خطوة أخيرة لعزل المتغير ‘ص’ في طرف بمفرده. يتم ذلك عبر نقل العدد (-6) من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر للمعادلة، مع تغيير إشارته لتصبح موجبة. هذا الإجراء الرياضي، وهو إضافة 6 إلى كلا طرفي المعادلة، يقودنا مباشرة إلى الشكل النهائي. وبذلك نحصل على: ص = -3/4س + 3 + 6، والتي تتبسط لتكون العلاقة الخطية النهائية: ص = -3/4س + 9. هذه المعادلة لا تمثل الحل فحسب، بل تكشف أيضاً أن المستقيم يقطع المحور الصادي عند النقطة 9.