حاصل ضرب ع مع العدد 5 يساوي القوة الثالثة للعدد ع

السؤال: حاصل ضرب ع مع العدد 5 يساوي القوة الثالثة للعدد ع

• الإجابة: 5ع = ع³

شرح الإجابة:

إن ترجمة العبارات اللفظية إلى معادلات رياضية هي جوهر علم الجبر، والمسألة المطروحة أمامنا مثال دقيق على هذه العملية. لنحلل الجملة خطوة بخطوة لنرى كيف تتشكل المعادلة. تبدأ العبارة بـ “حاصل ضرب ع مع العدد 5″، وهو ما يعني ببساطة إجراء عملية ضرب بين المتغير المجهول الذي نرمز له بـ “ع” والرقم الثابت 5. في لغة الرياضيات، نكتب هذا الجزء بالشكل التالي: 5 × ع، أو بصورة أكثر اختصارًا واحترافية: 5ع.

ينقلنا الجزء الثاني من الجملة، وهو كلمة “يساوي”، إلى الطرف الآخر من المعادلة، ممثلاً بعلامة التساوي (=). أما الطرف الأيسر للمعادلة فيتمثل في “القوة الثالثة للعدد ع”. هذا التعبير، المعروف أيضاً بـ “مكعب العدد” أو “تكعيبه”، يعني ضرب العدد في نفسه ثلاث مرات متتالية (ع × ع × ع)، وهو ما يُصاغ رياضياً على هيئة الأسس بالشكل: ع³. ومن هذا المنطلق، عند تجميع هذه الأجزاء معًا، نصل إلى الصياغة النهائية للمعادلة الجبرية المتكاملة: 5ع = ع³.

والآن، لا يتوقف التحليل عند مجرد كتابة المعادلة، بل يمتد إلى فهم كيفية حلها وإيجاد قيم “ع” التي تحققها. لحل معادلة من هذا النوع، نقوم أولاً بإعادة ترتيبها لجعل أحد طرفيها يساوي صفراً، فتصبح: ع³ – 5ع = 0. الخطوة الجوهرية هنا تكمن في استخراج العامل المشترك، وهو “ع” في هذه الحالة، لنحصل على الصيغة المحلَّلة: ع(ع² – 5) = 0. هذا التحليل هو مفتاح الكشف عن جميع الحلول الممكنة.

بناءً على خاصية الضرب الصفري في الرياضيات، إذا كان ناتج ضرب كميتين يساوي صفراً، فلا بد أن تكون إحدى الكميتين على الأقل صفراً. يترتب على ذلك وجود احتمالين: إما أن يكون العامل الأول (ع) يساوي صفراً، وهذا هو الحل الأول: ع = 0. أو أن يكون العامل الثاني (ع² – 5) هو الذي يساوي صفراً، وهذا يقودنا إلى معادلة فرعية: ع² = 5. ولإيجاد قيمة “ع” هنا، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، لنجد أن هناك حلين إضافيين: ع = √5 و ع = -√5. خلاصة القول، إن هذه العبارة اللفظية البسيطة لا تخفي حلاً واحداً، بل ثلاثة حلول رياضية دقيقة هي: 0، و√5، و-√5.