مشى رجل 30 m جنوبا ثم 30 m شرقا أوجد مقدار الإزاحة المحصلة واتجاهها بطريقة الرسم أولاً ثم بطريقة تحليل المتجهات

السؤال: مشى رجل 30 m جنوبا ثم 30 m شرقا أوجد مقدار الإزاحة المحصلة واتجاهها بطريقة الرسم أولاً ثم بطريقة تحليل المتجهات

الإجابة: مقدار الإزاحة المحصلة 30√2 m ≈ 42.43 m في اتجاه 45° شرق الجنوب

شرح الإجابة:

عند تحليل حركة الجسم في هذا السياق، نبدأ أولاً بالطريقة الرسومية التي تتيح تصوراً بصرياً دقيقاً للمسار. نرسم محورين متعامدين: أحدهما رأسي يمثل الاتجاه شمال–جنوب، والآخر أفقي يمثل الاتجاه شرق–غرب. ثم نحدد نقطة البداية، ومنها نرسم سهمًا بطول 30 مترًا نحو الجنوب، يليه سهم آخر بنفس الطول ولكن باتجاه الشرق. هذا التتابع في الحركة يشكل زاوية قائمة بين المتجهين، مما ينتج مثلثًا قائم الزاوية يمكن استخدامه لحساب الإزاحة النهائية.

الإزاحة المحصلة تمثل الخط المستقيم الواصل بين نقطة البداية ونقطة النهاية، أي القطر المائل في هذا المثلث القائم. ولحساب طوله بدقة، نستخدم مبرهنة فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين. بالتالي:

R = √(30² + 30²) = √(900 + 900) = √1800 = 30√2 ≈ 42.43 m

هذا الناتج يمثل مقدار الإزاحة، أي المسافة الفعلية التي تفصل بين نقطة البداية ونقطة النهاية بغض النظر عن المسار الذي سلكه الرجل.

أما بالنسبة للاتجاه، فإن الزاوية الناتجة بين الإزاحة والمحور الرأسي (الاتجاه الجنوب) يمكن حسابها باستخدام النسبة المثلثية للظل (tan)، حيث:

إقرأ أيضا:المسافة العمودية من محور الدوران حتى نقطة تأثير القوة هي

tan θ = المقابل / المجاور = 30 / 30 = 1 ⇒ θ = 45°

وبما أن الحركة الأولى كانت نحو الجنوب والثانية نحو الشرق، فإن الاتجاه النهائي للإزاحة يكون بزاوية 45 درجة شرق الجنوب، وهو اتجاه مائل يجمع بين الاتجاهين.

ننتقل الآن إلى طريقة تحليل المتجهات، وهي منهج رياضي يعتمد على تمثيل كل حركة بمتجه له مركبتان: أفقية ورأسية. الحركة نحو الجنوب تُعبّر عنها بالمتجه (0, –30)، بينما الحركة نحو الشرق تُعبّر عنها بالمتجه (30, 0). بجمع هذين المتجهين نحصل على المتجه المحصل:

R⃗ = (30, –30)

هذا المتجه يوضح أن الجسم انتقل 30 مترًا شرقًا و30 مترًا جنوبًا، مما يعيدنا إلى نفس المثلث القائم الذي حللناه سابقًا. مقدار هذا المتجه يُحسب بنفس الطريقة:

|R⃗| = √(30² + (–30)²) = √(900 + 900) = √1800 = 30√2 ≈ 42.43 m

أما اتجاهه، فيُستنتج من العلاقة:

tan θ = |المركبة الأفقية| / |المركبة الرأسية| = 30 / 30 = 1 ⇒ θ = 45°

وبما أن المركبة الأفقية موجبة (شرق) والرأسية سالبة (جنوب)، فإن الاتجاه النهائي للإزاحة هو 45° شرق الجنوب، وهو اتجاه مائل يجمع بين المحورين.

إقرأ أيضا:في النظام الإحداثي الذي يشير فيه المحور x إلى الشرق ما مدى الزوايا الذي تكون فيه المركبة x موجبة وما مدى الزوايا الذي تكون فيه سالبة

بهذا نكون قد توصلنا إلى مقدار الإزاحة المحصلة بدقة، وربطنا بين الطريقتين الرسومية والتحليلية، مؤكدين على أن كلاهما يقود إلى نفس النتيجة العلمية، مما يعزز فهم الطالب لمفهوم الإزاحة في الفيزياء ويعمّق إدراكه للعلاقة بين الرياضيات والحركة.