معتمداً على الشكل الوارد في مثال 4، اكتب معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع (أ د) بصيغة الميل ونقطة، ثم بالصورة القياسية

السؤال: معتمداً على الشكل الوارد في مثال 4، اكتب معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع (أ د) بصيغة الميل ونقطة، ثم بالصورة القياسية

• الإجابة: معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة هي: ص – ٥ = –(س – ١) أو ص – ٢ = –(س – ٤). أما معادلة المستقيم بالصورة القياسية فهي: س + ص = ٦.

شرح الإجابة:

إن تحديد الهوية الجبرية لخط مستقيم في المستوى الإحداثي يتطلب معرفة معلومتين أساسيتين: إما نقطتين يمر بهما هذا الخط، أو نقطة واحدة ومقدار انحداره الذي نطلق عليه مصطلح “الميل”. في حالتنا هذه، المتعلقة بالضلع (أ د)، نجد أن المعادلة بصيغة الميل ونقطة تكشف لنا عن إحداثيات النقطتين (أ) و(د)، وهما على التوالي (١، ٥) و(٤، ٢). من خلال هاتين النقطتين، يمكننا استخلاص الخاصية الجوهرية للمستقيم وهي ميله.

ولكي ننتقل إلى الحسابات الدقيقة، نبدأ بتحديد قيمة الميل (م) عبر قسمة الفارق في الإحداثيات الصادية على الفارق في الإحداثيات السينية للنقطتين. بتطبيق هذه القاعدة، نجد أن الميل (م) = (٢ – ٥) / (٤ – ١) = -٣ / ٣، وهو ما يعطينا قيمة ميل تساوي -١. هذا الرقم السالب يشير إلى أن المستقيم ينحدر من اليسار إلى اليمين، وهو تصور هندسي دقيق لحركة الخط على المستوى البياني.

بمجرد حصولنا على قيمة الميل، يصبح بإمكاننا صياغة المعادلة. تقتضي صيغة “الميل ونقطة” أن نتبع الهيكل التالي: (ص – ص₁) = م (س – س₁). عند استخدام النقطة (١، ٥) مع الميل -١، تتشكل المعادلة الأولى: ص – ٥ = –١(س – ١). وبالمثل، عند استخدام النقطة الثانية (٤، ٢) مع الميل ذاته، نحصل على المعادلة الثانية: ص – ٢ = –١(س – ٤). كلاهما تعبير صحيح ودقيق عن المستقيم نفسه، ولكنهما يستندان إلى نقطتي انطلاق مختلفتين على مساره.

أما التحول إلى الصورة القياسية، فهو ليس إلا عملية إعادة ترتيب وتنظيم للمعادلة السابقة. لنأخذ المعادلة الأولى كنقطة انطلاق: ص – ٥ = –(س – ١). بتوزيع الإشارة السالبة على القوس، تصبح المعادلة: ص – ٥ = –س + ١. الخطوة التالية تقتضي نقل المتغير (س) إلى الطرف الأيمن والثابت (–٥) إلى الطرف الأيسر، فتتحول المعادلة إلى: س + ص = ١ + ٥. ومن هنا، نصل إلى الشكل النهائي المبسط والأنيق للمعادلة بالصورة القياسية، وهو: س + ص = ٦، حيث تم تجميع المتغيرات في جهة والثوابت في الجهة الأخرى.