يحاول فيصل وأسامة إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم ص = 1/3س + 2 والمار بالنقطة (-3 ، 5) فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

السؤال: يحاول فيصل وأسامة إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم ص = 1/3س + 2 والمار بالنقطة (-3 ، 5) فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

• الإجابة: فيصل؛ لأنه حدد ميل المستقيم العمودي بشكل صحيح.

شرح الإجابة:

إن جوهر هذه المسألة الهندسية يرتكز على فهم العلاقة الدقيقة بين المستقيمات المتعامدة. المعادلة المعطاة، ص = 1/3س + 2، تقدم لنا معلومة محورية وهي “ميل” أو انحدار الخط المستقيم الأول، والذي تبلغ قيمته (1/3). هذه القيمة هي نقطة الانطلاق الأساسية لأي تحليل لاحق، وبدون استيعابها بشكل صحيح، يستحيل الوصول إلى الحل السليم.

وهنا تكمن النقطة المفصلية التي تميز الحل الصحيح عن الخاطئ. في عالم الهندسة الإحداثية، عندما يتعامد مستقيمان، فإن العلاقة بين ميليهما ليست عشوائية، بل محكومة بقانون صارم: يكون ميل أحدهما هو “المقلوب السالب” لميل الآخر. وبناءً على ذلك، لتحديد ميل المستقيم الجديد المطلوب، يجب أن نأخذ ميل المستقيم الأصلي (1/3)، نقلبه ليصبح (3/1)، ثم نعكس إشارته ليصبح (-3). هذا الرقم، (-3)، هو حجر الزاوية في بناء المعادلة الجديدة.

من هذا المنطلق، يتضح أن فيصل قد أدرك هذه القاعدة الجوهرية، فقام بتحديد ميل المستقيم العمودي بالقيمة (-3). هذا الإدراك هو ما جعل منهجه صحيحاً من الأساس. بعد تحديد هذا الميل، تصبح بقية المهمة سلسلة من الخطوات الحسابية المباشرة. نستخدم صيغة النقطة والميل لإيجاد معادلة المستقيم الجديد، حيث لدينا الميل (-3) والنقطة المعطاة (-3 ، 5).

بتطبيق الصيغة ص – ص₁ = م(س – س₁)، وبتعويض القيم التي بحوزتنا، نصل إلى: ص – 5 = -3(س – (-3)). عند تبسيط هذه العلاقة، تتحول إلى ص – 5 = -3(س + 3)، ومن ثم إلى ص – 5 = -3س – 9. وبإعادة ترتيب نهائية للمعادلة لعزل المتغير (ص) في طرف بمفرده، نحصل على الصيغة النهائية للمستقيم العمودي: ص = -3س – 4. يتجلى هنا أن النجاح في كل هذه الخطوات اللاحقة كان مرهوناً بالخطوة الأولى الحاسمة، وهي التحديد الدقيق لميل المستقيم العمودي.