السؤال: أسقطت كرة من ارتفاع 270 سم فكانت ارتفاعاتها في الارتدادات الثلاثة الأولى 180 سم، 120 سم، 80 سم على الترتيب صف نمط الارتفاعات ثم احسب بعد أي ارتداد يصبح ارتفاعها أقل من 30 سم؟
شرح الإجابة:
عند تحليل حركة الكرة، نلاحظ أن هناك علاقة رياضية دقيقة تحكم تسلسل الارتفاعات بعد كل ارتداد. إن جوهر المسألة يكمن في فك شيفرة هذا النمط الحركي. بالنظر إلى القفزة الأولى، نجد أن الكرة صعدت إلى 180 سم من أصل 270 سم، وعند قسمة الارتفاع الجديد على القديم (180 ÷ 270) نحصل على الكسر 2/3. للتأكد من أن هذه ليست مصادفة، ننتقل إلى الارتداد التالي، حيث نجد أن النسبة بين الارتفاع الثاني والأول (120 ÷ 180) تساوي أيضاً 2/3. هذا الاستنتاج يؤكد أننا أمام متوالية هندسية تفقد فيها الكرة ثلث طاقتها الحركية تقريباً عند كل اصطدام بالأرض، وبالتالي فإن كل ذروة ارتداد تالية تمثل ثلثي سابقتها.
بناءً على القاعدة المُكتشفة، يمكننا الآن استشراف مستقبل مسار الكرة وحساب الارتفاعات اللاحقة بدقة. توقفنا عند الارتداد الثالث الذي بلغ علوّه 80 سم. لتحديد قمة الارتداد الرابع، نطبق النسبة ذاتها: 80 مضروبة في 2/3، فتكون النتيجة قرابة 53.3 سم، وهو رقم لا يزال أعلى من الهدف المحدد (30 سم). ومن ثم، نستمر في تتبع الحركة ونحسب علو الارتداد الخامس بأخذ النتيجة السابقة وضربها مجدداً في 2/3، لنحصل على 35.5 سم تقريباً، وهو ارتفاع ما زال يتجاوز الثلاثين سنتيمتراً.
وهكذا نصل إلى المحطة الحاسمة، وهي الارتداد السادس. بتطبيق ذات القانون الفيزيائي الثابت لهذه الحركة، نأخذ ارتفاع القفزة الخامسة (35.5 سم) ونضربه في النسبة المشتركة 2/3. تكون الحصيلة النهائية قرابة 23.7 سم. هذا الرقم، ولأول مرة في تسلسل حساباتنا، ينخفض بوضوح عن حاجز الـ 30 سم. بناءً على ذلك، يتضح بشكل قاطع أن الكرة ستصل إلى ارتفاع يقل عن 30 سم بعد إتمامها للارتداد السادس مباشرةً.