أنشىء نظاما من معادلتين يمكن حله بحذف أحد متغيريه باستعمال الجمع ثم أكتب قاعدة عامة لإنشاء مثل هذه الأنظمة

السؤال: أنشىء نظاما من معادلتين يمكن حله بحذف أحد متغيريه باستعمال الجمع ثم أكتب قاعدة عامة لإنشاء مثل هذه الأنظمة.

• الإجابة: يمكن إنشاء النظام التالي:
  المعادلة الأولى: ٢س + ص = ٥
  المعادلة الثانية: س – ص = ٥
  القاعدة العامة: لإنشاء نظام مماثل، يجب أن يكون مُعامل أحد المتغيرين في إحدى المعادلتين معكوسًا جمعيًا لمُعامل المتغير نفسه في المعادلة الأخرى.

شرح الإجابة:

إن الفكرة الجوهرية في حل الأنظمة الجبرية بطريقة الحذف بالجمع تكمن في التبسيط الممنهج، أي تحويل معضلة ذات مجهولين إلى مسألة أبسط بمجهول واحد فقط. تخيل أن لديك ميزانين، كل منهما يمثل معادلة، وهدفك هو دمج محتوياتهما بطريقة ذكية تجعل أحد العناصر يختفي تمامًا، مما يكشف لك عن وزن العنصر الآخر.

ولكي يتضح المقال، دعنا نتأمل المثال المذكور بعمق. لدينا المعادلتان: ٢س + ص = ٥، وَ س – ص = ٥. إن مفتاح الحل يكمن في مراقبة المتغير “ص”. في المعادلة الأولى، نجد أن العدد المضروب فيه، أو ما نسميه “المُعامل”، هو موجب واحد (+١). بينما في المعادلة الثانية، نجد أن مُعامله هو سالب واحد (-١). هذان الرقمان، +١ و -١، هما ما يُعرف بالنظائر الجمعية؛ أي أن مجموعهما يساوي صفرًا.

وهنا يكمن سر الطريقة؛ فعندما نقوم بجمع المعادلتين بشكل رأسي، طرفًا لطرف، فإننا نجمع المتشابهات. نجمع (٢س) مع (س) لنحصل على (٣س)، ونجمع (+ص) مع (-ص) فيُلغي أحدهما الآخر تمامًا، ثم نجمع الثوابت (٥) و (٥) لنحصل على (١٠). ينتج عن هذه العملية معادلة جديدة وبسيطة للغاية: ٣س = ١٠. لقد تم حذف المتغير “ص” بنجاح، وأصبح إيجاد قيمة “س” ممكنًا ومباشرًا.

وبناءً على هذه الملاحظة الدقيقة، نستخلص المبدأ العام أو القاعدة الذهبية لإنشاء مثل هذه الأنظمة. لكي تتمكن من بناء نظام معادلات قابل للحل مباشرةً بالجمع، عليك أن تصمم علاقة محددة بين مُعاملات أحد المتغيرات. يجب أن تجعل مُعامل المجهول الذي تنوي حذفه (سواء كان “س” أو “ص”) في المعادلة الأولى نظيرًا جمعيًا لمُعامله في المعادلة الثانية. بعبارة أخرى، يجب أن يكون الرقمين متساويين في القيمة ولكن مختلفين في الإشارة، مثل (+٣) و (-٣)، أو (-٧) و (+٧).

والآن، لكي تصبح أنت من يصمم هذه الأنظمة، اتبع خطوات بسيطة: ابدأ أولاً باختيار متغير لحذفه، وليكن “ص”. ثم، امنحه مُعاملين متعاكسين في المعادلتين، مثل (+٢ص) في الأولى و (-٢ص) في الثانية. بعد ذلك، اختر أي مُعاملات أخرى للمتغير “س”، وضع أي أرقام ثابتة بعد علامة اليساوي. بهذه الطريقة، تكون قد أنشأت ببراعة نظامًا رياضيًا متكاملًا ومصممًا خصيصًا ليتم حله بكفاءة عبر استراتيجية الحذف بالجمع.