السؤال: أوجد جميع المجموعات التي يتكون كل منها من عددين صحيحين فرديين موجبين متتاليين مجموعهما على الأقل 8 ويقل عن 24.
شرح الإجابة:
دعنا نفكك هذه المسألة الرياضية إلى أجزائها الأساسية لنفهم جوهرها بدقة. المطلوب هو تحديد أزواج من الأعداد التي تحمل أربع صفات محددة: أولاً، يجب أن تكون أعداداً صحيحة، أي ليست كسوراً أو أعداداً عشرية. ثانياً، لا بد أن تكون موجبة، أي أكبر من الصفر. ثالثاً، يجب أن تكون فردية، مثل 1، 3، 5 وهكذا. وأخيراً، لا بد أن تكون متتالية، بمعنى أن العدد الثاني يأتي مباشرة بعد الأول في سلسلة الأعداد الفردية، كالثنائي 7 و 9، حيث الفارق بينهما هو 2 دائماً.
والآن، ننتقل من الوصف اللفظي إلى الصياغة الرياضية، وهي لغة المنطق والدقة. لكي نتعامل مع هذه الأعداد المجهولة بأسلوب منهجي، سنعطي العدد الفردي الأصغر رمزاً وليكن “س”. وبما أن العدد الذي يليه هو العدد الفردي التالي له مباشرة، فإنه سيكون حتماً أكبر منه بمقدار 2، وبالتالي يمكننا تمثيله بالصيغة “س + 2”. بهذه الطريقة، أصبح لدينا تمثيل جبري للعددين المطلوبين: س، و (س + 2).
بناءً على ذلك، يمكننا ترجمة الشروط المتعلقة بالمجموع إلى متباينة رياضية. المسألة تفرض شرطين على مجموعهما (س + س + 2)، الذي يمكن تبسيطه إلى (2س + 2). الشرط الأول هو أن المجموع “على الأقل 8″، وهو ما يعني رياضياً أنه يساوي 8 أو أكبر منها (≥ 8). والشرط الثاني أن المجموع “يقل عن 24″، وهو ما يعني أنه أصغر تماماً من 24 (< 24). بدمج هذين الشرطين، نصل إلى متباينة مركبة واحدة تحكم المسألة بأكملها: 8 ≤ 2س + 2 < 24.
من هنا، تبدأ رحلة حل هذه المتباينة المركبة لكشف قيمة “س”. نبدأ بطرح العدد 2 من جميع أطراف المتباينة لعزل المتغير، فتصبح: (8 – 2) ≤ (2س) < (24 - 2)، وهو ما يعطينا: 6 ≤ 2س < 22. الخطوة التالية هي قسمة جميع الأطراف على 2 للوصول إلى قيمة "س" وحدها، فنحصل على: (6 ÷ 2) ≤ (س) < (22 ÷ 2)، والنتيجة النهائية هي: 3 ≤ س < 11.
إن الوصول إلى الحل 3 ≤ س < 11 ليس نهاية المطاف، بل هو المفتاح الذي يكشف لنا عن الإجابات الممكنة. هذا الحل يخبرنا أن قيمة العدد الفردي الأصغر "س" يجب أن تكون عدداً فردياً موجباً محصوراً بين 3 (بما في ذلك 3) و 11 (دون أن يشمل 11). وعليه، فإن القيم الممكنة لـ "س" هي الأعداد الفردية: 3، 5، 7، 9. ولكل قيمة من هذه القيم، نجد العدد التالي لها (س + 2) لنكوّن المجموعة المطلوبة:
- إذا كان س = 3، فإن العدد التالي هو 5، والمجموعة هي {3، 5} ومجموعها 8.
- إذا كان س = 5، فإن العدد التالي هو 7، والمجموعة هي {5، 7} ومجموعها 12.
- إذا كان س = 7، فإن العدد التالي هو 9، والمجموعة هي {7، 9} ومجموعها 16.
- إذا كان س = 9، فإن العدد التالي هو 11، والمجموعة هي {9، 11} ومجموعها 20.
وهكذا، نكون قد استخرجنا جميع المجموعات الممكنة التي تحقق كافة الشروط المذكورة في نص المسألة بدقة متناهية ومنهجية واضحة.