أوجد عدد أضلاع المضلع المنتظم المعطى قياس إحدى زواياه الداخلية في كل مما يأتي

السؤال: أوجد عدد أضلاع المضلع المنتظم المعطى قياس إحدى زواياه الداخلية في كل مما يأتي

الإجابة: المضلع الذي قياس إحدى زواياه الداخلية

108° يحتوي على 5 أضلاع،

140° يحتوي على 9 أضلاع،

147.3° يحتوي على 11 أضلاع،

160° يحتوي على 18 أضلاع،

135° يحتوي على 8 أضلاع،

176.4° يحتوي على 100 ضلع.

شرح الإجابة:

لفهم العلاقة بين قياس الزاوية الداخلية وعدد الأضلاع في المضلع المنتظم، نبدأ من الأساس الهندسي الذي ينص على أن مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع منتظم يُحسب وفق القانون:

(عدد الأضلاع – 2) × 180.

وبما أن جميع الزوايا الداخلية في المضلع المنتظم متساوية، فإن قياس كل زاوية داخلية يُستخرج بقسمة هذا الناتج على عدد الأضلاع n، فنحصل على المعادلة التالية:

(180 × (n – 2)) ÷ n = A، حيث A تمثل قياس الزاوية الداخلية.

ولتبسيط المعادلة وتحويلها إلى صيغة قابلة للحل، نعيد ترتيب الحدود:

180n – 360 = A × n.

ثم نطرح A × n من الطرفين:

180n – A × n = 360.

وباستخراج العامل المشترك n من الطرف الأيسر، نحصل على:

إقرأ أيضا:السنتمتر وحدة قياس أكبر من الملمتر وأصغر من المتر . فهل ما قالته فاطمة صواب أم خطأ

n × (180 – A) = 360.

وبالتالي، يصبح عدد الأضلاع n معبراً عنه بصيغة مباشرة:

n = 360 ÷ (180 – A).

هذه المعادلة تمثل أداة دقيقة لحساب عدد الأضلاع لأي مضلع منتظم بمجرد معرفة قياس زاويته الداخلية. والآن ننتقل إلى تطبيق هذا القانون على القيم المعطاة:

– عندما يكون قياس الزاوية الداخلية A = 108°، فإن:

n = 360 ÷ (180 – 108) = 360 ÷ 72 = 5.

وهذا يعني أن المضلع هو خماسي منتظم.

– إذا كانت الزاوية الداخلية A = 140°، فإن:

n = 360 ÷ (180 – 140) = 360 ÷ 40 = 9.

أي أن المضلع يتكون من تسعة أضلاع متساوية.

– عند A = 147.3°، نحصل على:

n = 360 ÷ (180 – 147.3) = 360 ÷ 32.7 ≈ 11.

مما يدل على أن المضلع أحد عشر ضلعاً.

– في حالة A = 160°، فإن:

n = 360 ÷ (180 – 160) = 360 ÷ 20 = 18.

أي أن المضلع ثماني عشر ضلعاً.

– عندما تكون الزاوية A = 135°، فإن:

إقرأ أيضا:يتم حذف المجلد الأصلي عند حذف اختصاره الموجود على سطح المكتب صح أم خطأ

n = 360 ÷ (180 – 135) = 360 ÷ 45 = 8.

وهذا يحدد المضلع على أنه ثماني الأضلاع.

– وأخيراً، إذا كانت الزاوية الداخلية A = 176.4°، فإن:

n = 360 ÷ (180 – 176.4) = 360 ÷ 3.6 = 100.

مما يعني أن المضلع مكوّن من مئة ضلع، وهو قريب جداً من الشكل الدائري.

من خلال هذا التسلسل المنطقي، يتضح أن العلاقة بين قياس الزاوية الداخلية وعدد الأضلاع ليست مجرد حساب، بل تعكس توازناً هندسياً دقيقاً. كلما اقترب قياس الزاوية من 180 درجة، زاد عدد الأضلاع، واقترب الشكل من الدائرة. هذه الصيغة لا تكتفي بتحديد العدد، بل تفتح نافذة لفهم البنية الهندسية للمضلعات المنتظمة، وتُظهر كيف أن الرياضيات ليست فقط أرقاماً، بل منطقاً متماسكاً يربط الشكل بالمعلومة.