أوجد قيمة س التي تجعل لكل من المستطيلين المجاورين المساحة نفسها

السؤال: أوجد قيمة س التي تجعل لكل من المستطيلين المجاورين المساحة نفسها

• الإجابة: 8

شرح الإجابة:

إن حجر الزاوية في حل هذه المسألة الهندسية ينبني على مبدأ أساسي وبسيط، وهو أن مساحة أي مستطيل هي نتاج ضرب طوله في عرضه. ولكي تتساوى مساحة المستطيلين، يجب أن يكون حاصل ضرب أبعاد الأول مساوياً لحاصل ضرب أبعاد الثاني. من هذا المنطلق، نؤسس معادلة رياضية موزونة تمثل هذه العلاقة، ومن خلالها نتمكن من كشف قيمة المتغير المجهول “س”.

لنفترض أن أبعاد المستطيل الأول هي الطول 10 والعرض “س”. بناءً على ذلك، فإن مساحة هذا الشكل الهندسي الأول يمكن التعبير عنها رياضيًا بالصيغة (10 × س)، أو ببساطة 10س. هذا التعبير يمثل الطرف الأول من المعادلة التي نسعى لتكوينها، وهو يجسد مساحة المستطيل الأول بدلالة المتغير “س” الذي نريد إيجاد قيمته النهائية.

ننتقل الآن إلى المستطيل الثاني المجاور له. لنفترض أن أبعاده هي الطول 5، بينما عرضه يُعبر عنه بالصيغة (س + 8). لحساب مساحة هذا الشكل الثاني، نقوم بضرب طوله في عرضه، مما يعطينا التعبير الرياضي 5 × (س + 8). وهنا يكمن مفتاح الحل في التعامل مع هذا التعبير بشكل صحيح، حيث يجب توزيع عملية الضرب على ما بداخل القوسين، أي نضرب العدد 5 في “س” ثم نضربه في 8.

بعد تحديد صيغة المساحة لكل مستطيل، نضع التعبيرين في كفتي ميزان واحد، لأن الشرط الأساسي للمسألة هو تساوي المساحتين. فتتشكل لدينا المعادلة الجبرية التالية: 10س = 5(س + 8). الخطوة التالية مباشرة هي فك القوس في الطرف الأيسر من المعادلة، فتصبح: 10س = 5س + 40. لقد تحولت المسألة الآن إلى معادلة خطية بسيطة يسهل التعامل معها.

لحل هذه المعادلة، هدفنا هو عزل المتغير “س” في طرف بمفرده. نبدأ بجمع الحدود التي تحتوي على “س” في طرف واحد، وذلك بطرح 5س من كلا الطرفين للحفاظ على توازن المعادلة. ينتج عن هذه العملية: 10س – 5س = 40. عند تبسيط الطرف الأيمن، نحصل على: 5س = 40. لم يتبق سوى خطوة واحدة للوصول إلى الحل النهائي.

الآن، وبكل بساطة، نقسم طرفي المعادلة على معامل “س” وهو العدد 5، وذلك لتحرير المتغير “س” من أي ارتباط. فتكون العملية الحسابية هي: س = 40 ÷ 5، ومنها نتوصل بشكل قاطع إلى أن قيمة س التي تحقق التساوي بين مساحتي المستطيلين هي 8. وللتأكد، نعوض بقيمة س في أبعاد كل مستطيل: مساحة الأول تصبح 10 × 8 = 80، ومساحة الثاني 5 × (8 + 8) أي 5 × 16 = 80، وبذلك نرى تطابق النتيجتين.