السؤال: أوجد محصلة المتجهات الثلاثة المبينة في الشكل 7 – 5
شرح الإجابة:
لفهم كيفية إيجاد محصلة ثلاثة متجهات، يجب أولًا إدراك أن كل متجه في الفضاء ثنائي الأبعاد يمكن تمثيله بمركبتين: واحدة على المحور الأفقي (x)، والأخرى على المحور العمودي (y). هذه الطريقة تتيح لنا التعامل مع كل متجه كزوج من القيم العددية، مما يسهل عملية الجمع والتحليل.
نبدأ بتفكيك كل متجه إلى مركبتيه باستخدام العلاقات المثلثية، حيث تعتمد كل مركبة على الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الأفقي. هذا التفكيك يتم وفقًا للمعادلات التالية:
– المتجه الأول:
Ax = A × cos(α)
Ay = A × sin(α)
– المتجه الثاني:
Bx = B × cos(β)
By = B × sin(β)
– المتجه الثالث:
Cx = C × cos(γ)
Cy = C × sin(γ)
بعد ذلك، ننتقل إلى الخطوة التالية وهي جمع المركبات الأفقية والعمودية لكل المتجهات على حدة. هذا الجمع يتم وفقًا لمبدأ جمع المتجهات في الاتجاه نفسه:
– Rx = Ax + Bx + Cx
إقرأ أيضا:اشترك 58% من طلاب مدرسة ما في مسابقة المدرسة الثقافية إذا كان عدد طلاب المدرسة 400 طالب فقدر عدد الطلاب الذين اشتركوا في مسابقة المدرسة الثقافية– Ry = Ay + By + Cy
وبعد إجراء العمليات الحسابية، نحصل على القيم التالية:
– Rx = 6 وحدات
– Ry = 3 وحدات
الآن، نستخدم هذه المركبات لاشتقاق مقدار واتجاه المحصلة النهائية. لحساب مقدار المحصلة، نطبق نظرية فيثاغورس على Rx وRy:
– R = √(Rx² + Ry²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 6.7
أما لتحديد اتجاه المحصلة، فنستخدم الدالة العكسية للظل (arctangent) التي تربط بين المركبتين:
إقرأ أيضا:كلمة أمة هل تلحق بالمفرد أو الجمع– θ = arctan(Ry / Rx) = arctan(3 / 6) = arctan(0.5) = 27°
وبذلك، تكون المحصلة النهائية متجهًا مقداره 6.7 وحدات، ويتجه بزاوية مقدارها 27° مع المحور الأفقي، وهو ما يعكس بدقة تامة تأثير المتجهات الثلاثة مجتمعة.
هذا الحل يجمع بين التحليل الرياضي الدقيق والتطبيق العملي للمفاهيم الفيزيائية، ويعزز فهم الطالب لكيفية التعامل مع المتجهات في السياقات الهندسية والفيزيائية، مما يرسّخ لديه القدرة على الربط بين النظرية والتطبيق بأسلوب منطقي ومنظم.