أي الأعمال التالية يسمح بها عند جمع متجه مع متجه آخر بطريقة الرسم: تحريك المتجه، أو دوران المتجه، أو تغيير طول المتجه؟

السؤال: أي الأعمال التالية يسمح بها عند جمع متجه مع متجه آخر بطريقة الرسم: تحريك المتجه، أو دوران المتجه، أو تغيير طول المتجه؟

• الإجابة: تحريك المتجه.

شرح الإجابة:

لفهم هذا الأمر بعمق، يجب أن نعود إلى التعريف الأساسي للمتجه. فالمتجه في عالم الفيزياء ليس مجرد رقم، بل هو كيان رياضي يمتلك خاصيتين أساسيتين لا ثالث لهما: المقدار والاتجاه. المقدار هو ما يمثله طول السهم، بينما يحدد رأسه اتجاه تأثير هذه الكمية. هاتان الخاصيتان هما هوية المتجه الكاملة، وأي تغيير في إحداهما يعني أننا نتعامل مع متجه جديد ومختلف كليًا.

وعندما نلجأ إلى طريقة الرسم لجمع متجهين، فإن الهدف هو إيجاد “المحصلة”، أي المتجه الذي يعطي نفس التأثير الكلي للمتجهين معًا. ولتحقيق ذلك، نستخدم قاعدة “الرأس للذيل” الشهيرة، حيث نضع بداية المتجه الثاني عند نهاية المتجه الأول. هذه العملية تتطلب منا بالضرورة أن ننقل المتجه الثاني من مكانه الأصلي ونضعه بجانب الأول. وهنا يكمن جوهر المسألة، إذ أن عملية النقل هذه، أو “التحريك”، هي الإجراء الوحيد المسموح به.

السبب في ذلك بسيط ومنطقي. عندما نحرك المتجه دون أن نغير طوله أو نديره، فإننا نحافظ على هويته الأصلية؛ فمقدارُه واتجاهُه يظلان ثابتين تمامًا. إن موضعه على ورقة الرسم لا يغير من حقيقته الفيزيائية. فالقوة التي مقدارها 10 نيوتن باتجاه الشرق تظل كما هي سواء رسمتها في أعلى الصفحة أو في أسفلها. وبالتالي، فإن تحريك المتجه هو مجرد إزاحة مكانية لا تمس جوهره، مما يجعله إجراءً صحيحًا لإتمام عملية الجمع.

على النقيض من ذلك، فإن تغيير طول المتجه يعني العبث بمقداره، وهذا يغير القيمة الفيزيائية التي يمثلها من الأساس. أما دوران المتجه، فيغير من اتجاهه، وهو ما يقلب تأثيره رأسًا على عقب. كلا الإجراءين، تغيير الطول أو الدوران، ينتجان متجهًا جديدًا لا علاقة له بالمتجه الأصلي في المسألة، مما يؤدي حتمًا إلى نتيجة خاطئة ومضللة. وخلاصة القول، إن الحفاظ على ثبات الطول والاتجاه أثناء النقل هو حجر الزاوية في صحة عملية الجمع البياني للمتجهات.