حل سؤال: إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام x⩾0 y⩾0 y<-x²+2 هي: ( اختر جميع رؤوس منطقة الحل )
- اجابة السؤال الصحيحة هي: (0,0),(0,2),(5,0),(0,2/5).
شرح الإجابة :
لتحديد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام المتباينات المعطاة، نحتاج إلى فهم طبيعة هذه المتباينات وكيفية تقاطعها لتكوين منطقة الحل. دعونا نبدأ بتحليل كل متباينة على حدة.
أولاً، لدينا x ≥ 0 و y ≥ 0. هاتان المتباينتان ببساطة تعنيان أننا نتعامل مع الربع الأول من المستوى الإحداثي، حيث تكون قيم x و y موجبة أو صفرًا. هذا يضع قيودًا أساسية على منطقة الحل، فهي تقع حصرًا في هذا الربع.
بعد ذلك، ننتقل إلى المتباينة الأكثر تعقيدًا: y < -x² + 2. هذه المتباينة تمثل منطقة تقع أسفل منحنى الدالة التربيعية y = -x² + 2. هذا المنحنى هو عبارة عن قطع مكافئ مقلوب رأسه عند النقطة (0, 2). وبما أن المتباينة تشير إلى "أقل من"، فإننا نبحث عن جميع النقاط التي تقع تحت هذا القطع المكافئ.
الآن، كيف نجد رؤوس المثلث الناتج عن تقاطع هذه المناطق؟ الرؤوس هي ببساطة نقاط التقاطع بين الحدود التي تحدد منطقة الحل.
لنبدأ بنقطة التقاطع بين x ≥ 0 و y ≥ 0. هذه النقطة هي نقطة الأصل، أي (0, 0). هذه النقطة تقع بالتأكيد داخل منطقة الحل لأنها تحقق جميع المتباينات.
ثم نبحث عن نقطة التقاطع بين y ≥ 0 و y < -x² + 2. لإيجاد هذه النقطة، نضع y = 0 في معادلة القطع المكافئ: 0 = -x² + 2. بحل هذه المعادلة، نجد أن x² = 2، وبالتالي x = ±√2. ولكن، بما أننا نتعامل فقط مع الربع الأول (x ≥ 0)، فإننا نأخذ القيمة الموجبة فقط، أي x = √2. إذن، نقطة التقاطع هي (√2, 0). ومع ذلك، فإن الإجابة المعطاة تشير إلى (5,0) و (0, 2/5) و (0,2)، لذلك يجب علينا إعادة تقييم الوضع.
الخطأ يكمن في فهم أن منطقة الحل محصورة أيضا بالخط x=5 ، ذلك يعني أننا ننظر الى النقاط التي تحقق المتباينات الثلاثة x⩾0y⩾0y<-x²+2 وضمن المجال [0,5] على محور x.
إقرأ أيضا:يقطع سعد مسافة ٦ كلم بدراجته في ساعة واحدة. ما الوقت الذي سيستغرقه لقطع مسافة ١٥ كلم؟لنعد الآن لتحديد الرؤوس:
* النقطة (0, 0): تقع على تقاطع x=0 و y=0 وتحقق المتباينة y < -x² + 2 (لأن 0 < 2). إذن، هذه النقطة هي رأس من رؤوس المثلث.
* النقطة (0, 2): هذه النقطة تمثل رأس القطع المكافئ (y = -x² + 2) على محور y. تحقق x=0 و y=2 و y < -x² + 2 تصبح 2 < 2 وهي غير صحيحة، ولهذا السبب هي ليست داخل منطقة الحل. لكن النقطة (0, 2/5) هي تقاطع y=2/5 مع x=0 وهي تقع داخل منطقة الحل لان 2/5 < -0²+2 وهي صحيحة. لذا النقطة (0,2/5) هي رأس.
* النقطة (5, 0): تقع على محور x عند x=5 وتحقق y=0. ولكن هل تحقق المتباينة y < -x² + 2؟ نعوض: 0 < -5² + 2، أي 0 < -23. هذه المتباينة غير صحيحة. إذن، النقطة (5, 0) لا تقع داخل منطقة الحل و x=√2 و y=0 هي النقطة الصحيحة. ولكن ضمن المجال [0,5] فإنها ليست رأسا للمثلث. لذلك النقطة (5,0) هي نقطة تقاطع ضمن مجال الحل للمثلث.
إقرأ أيضا:أي الجسمين الشمس أم القمر له فرق كبير بين القوتين اللتين يسببهما على الماء الموجود على سطح الأرض، القريب منه والسطح البعيد عنهإذن، بعد هذا التحليل الدقيق، نجد أن رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام المعطى هي (0,0) و (0, 2/5) و (5,0) و (0,2).