إذا كانت النقطة (-3 ، 2) تمثل حل نظام معادلتين وكانت إحدى معادلتيه هي س + 4ص = 5 ، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام وفسر كيف توصلت إليها

السؤال: إذا كانت النقطة (-3 ، 2) تمثل حل نظام معادلتين وكانت إحدى معادلتيه هي س + 4ص = 5 ، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام وفسر كيف توصلت إليها.

• الإجابة: ص – س = 5

شرح الإجابة:

إن جوهر فهم أنظمة المعادلات الخطية يرتكز على حقيقة أساسية واحدة: الحل المشترك، المتمثل في نقطة مثل (-3، 2)، هو بمثابة المفتاح الذي يفتح قفل المعادلتين في آنٍ واحد. هذه النقطة، بإحداثياتها السيني (س = -3) والصادي (ص = 2)، تُمثل نقطة التقاطع الوحيدة بين الخطين المستقيمين اللذين تعبر عنهما المعادلتان. وبالتالي، يجب على هذه النقطة أن تحقق كلا المعادلتين دون استثناء.

لنبدأ بالتحقق من المعطى الأول. لدينا المعادلة س + 4ص = 5 والنقطة (-3، 2). عند تعويض قيم س وص في هذه المعادلة، نحصل على: (-3) + 4(2) = -3 + 8، والناتج هو 5. هذا يؤكد أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر (5 = 5)، مما يثبت أن النقطة تقع بالفعل على الخط الممثل بالمعادلة الأولى. وهذه هي نقطة انطلاقنا الراسخة.

والآن، ننتقل إلى المهمة الرئيسية وهي إيجاد معادلة ثانية. بما أن النقطة (-3، 2) هي الحل للنظام بأكمله، فلا بد أن تكون هذه النقطة حلاً للمعادلة الثانية المجهولة أيضاً. يمكننا بناء عدد لا نهائي من المعادلات التي تمر بهذه النقطة، ولكن المطلوب هو إيجاد واحدة منها. المعادلة المقترحة كحل هي: ص – س = 5. لاكتشاف صحتها، نطبق المبدأ ذاته: نعوض قيم الإحداثيات في هذه المعادلة الجديدة.

يترتب على ذلك أننا نستبدل (ص) بقيمتها 2، و(س) بقيمتها -3. فتصبح المعادلة على النحو التالي: (2) – (-3) = 5. من خلال قواعد العمليات الحسابية، فإن طرح عدد سالب يكافئ جمع نظيره الموجب، أي 2 + 3 = 5. وبما أن 5 = 5، فهذا برهان قاطع على أن المعادلة ص – س = 5 هي معادلة صحيحة يمر خطها المستقيم عبر النقطة (-3، 2). وعليه، فإنها تصلح لتكون المعادلة الثانية في هذا النظام، حيث إن نقطة الحل المشترك تحققها كما حققت المعادلة الأولى تماماً.