إذا كان للمستقيم ميل موجب ومقطع صادي سالب فماذا يحدث للمقطع السيني إذا زاد كل من الميل والمقطع الصادي إلى مثليه

السؤال: إذا كان للمستقيم ميل موجب ومقطع صادي سالب فماذا يحدث للمقطع السيني إذا زاد كل من الميل والمقطع الصادي إلى مثليه؟

• الإجابة: يبقى المقطع السيني كما هو دون تغيير.

شرح الإجابة:

لفهم هذه النتيجة الهندسية المدهشة، علينا أن ننظر إلى هوية الخط المستقيم باعتباره علاقة رياضية دقيقة. إن شخصية أي خط مستقيم تتحدد بعنصرين أساسيين: ميله، أي درجة انحداره، والمقطع الصادي، وهو النقطة التي يقطع عندها المحور العمودي (محور الصادات). ومن هذين العنصرين يتولد بالضرورة العنصر الثالث، وهو المقطع السيني، أي نقطة عبور الخط للمحور الأفقي (محور السينات).

في الحالة الأصلية، لدينا ميل موجب ومقطع صادي سالب. يمكننا التعبير عن المقطع السيني من خلال معادلة بسيطة مشتقة من معادلة الخط المستقيم (ص = م س + ب)، حيث “م” هي الميل و “ب” هي المقطع الصادي. عند المقطع السيني، تكون قيمة “ص” صفراً دائماً، وبالتالي فإن قيمة “س” (المقطع السيني) تساوي رياضياً (-ب / م). هذه هي نقطة ارتكازنا الأولية.

وهنا يكمن مفتاح اللغز، حيث إن السؤال يطرح تغييراً متزامناً ومزدوجاً. لقد تضاعف الميل، مما يعني أن الخط أصبح أكثر انحداراً بشكل حاد. وفي الوقت ذاته، تضاعف المقطع الصادي السالب، مما يعني أن نقطة انطلاق الخط على المحور العمودي قد انخفضت إلى ضعف المسافة تحت نقطة الأصل. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذين التغييرين الكبيرين سيؤديان حتماً إلى تحريك كل شيء، بما في ذلك المقطع السيني.

ولكن، عند تطبيق هذه التغييرات على المعادلة، نكتشف الحقيقة الكامنة. يصبح الميل الجديد (2م) والمقطع الصادي الجديد (2ب). إذا قمنا بحساب المقطع السيني الجديد باستخدام نفس القاعدة، فستكون النتيجة: -(2ب) / (2م). ومن خلال تبسيط هذا الكسر، نجد أن العامل “2” في البسط يختزل تماماً مع العامل “2” في المقام. والنتيجة الحتمية هي أننا نعود إلى الصيغة الأصلية ذاتها: (-ب / م).

خلاصة القول، إن الزيادة النسبية في الميل قد عادلتها تماماً الزيادة النسبية في المقطع الصادي. فالخط المستقيم، على الرغم من أنه أصبح أكثر انحداراً وانخفاضاً في نقطة بدايته، إلا أنه قد “دار” حول نقطة تقاطعه السيني الأصلية، مبقياً إياها ثابتة في مكانها دون أي تغيير. هذا التوازن الدقيق يثبت أن المقطع السيني لم يتأثر لأن نسبة المقطع الصادي إلى الميل ظلت ثابتة.