السؤال: اختر عددا يقع بين 1000 و 2000 يمكن التعبير عنه كقوة.
- الإجابة : 1024
شرح الإجابة :
إن جوهر هذه المسألة يكمن في فهم طبيعة القوى الرياضية، وهي ليست مجرد أرقام عادية، بل هي نتاج عملية الضرب المتكرر لعدد معين في نفسه. هذا العدد الذي يُضرب يُعرف بـ الأساس، وعدد مرات تكرار الضرب يُعرف بـ الأس. فالمطلوب هنا هو إيجاد عدد محصور بين ألف وألفين، يكون له جذر صحيح، أي يمكن كتابته على هيئة “أساس” مرفوع لـ “أس” صحيح أكبر من واحد.
ومن هذا المنطلق، تبدأ رحلة البحث المنهجي. لا يمكننا الاعتماد على التخمين العشوائي، بل يتطلب الأمر استكشافًا منظمًا للأعداد. نبدأ باختبار الأساسات الصغيرة، فعلى سبيل المثال، لو أخذنا العدد (3) كأساس، سنجد أن 3⁶ تساوي 729 (وهي أقل من المطلوب)، بينما 3⁷ تقفز إلى 2187 (وهي أعلى من المطلوب)، إذن لا يوجد حل هنا. لكن، عندما ننتقل إلى اختبار العدد (4) كأساس، تتضح الصورة؛ فبعد حساب 4⁴ التي تساوي 256، نجد أن الخطوة التالية، وهي 4⁵ (أي 4 × 4 × 4 × 4 × 4)، تعطينا الناتج 1024. هذا الرقم يقع بأناقة داخل النطاق العددي المحدد بين 1000 و 2000، مما يجعله إجابة صحيحة ومثالية.
والأمر لا يتوقف عند هذا الحد، فالعدد 1024 يكشف عن عمق رياضي أكبر عند تحليله. فالأساس (4) هو بحد ذاته قوة، فهو يساوي 2². وهنا تتجلى إحدى أهم قوانين الأسس، حيث إن (2²)⁵ تساوي 2¹⁰. هذا يعني أن العدد 1024 ليس فقط القوة الخامسة للعدد 4، بل هو أيضًا القوة العاشرة للعدد 2.
إضافة إلى ذلك، فإن العدد 1024 هو مربع كامل، فهو ناتج ضرب العدد 32 في نفسه (32² = 1024). هذه الخاصية المتعددة تجعل من العدد 1024 مثالاً ثرياً للغاية في عالم الأعداد، فهو يلبي الشرط المطلوب ببراعة، ويفتح في الوقت نفسه أبواباً لفهم العلاقات المتشابكة بين مختلف القوى والجذور في الرياضيات، ويبرهن على أن هناك أعداداً أخرى تحقق الشرط ذاته مثل 1296 الذي يساوي 6⁴، أو 1331 الذي يساوي 11³.