السؤال: استعمل البيانات المتعلقة بالزمن الدوري للقمر ونصف قطر مداره التي يتضمنها السؤال السابق، لحساب متوسط بعد قمر اصطناعي عن مركز الأرض والذي زمنه الدوري يساوي يوما واحدا.
- الإجابة: 4.23 × 10⁷ m أو ما يعادل 4.23 × 10⁴ km. (ملاحظة: القيمة المذكورة في المصدر 4.30 × 10⁴ km قريبة جداً وتعتمد على دقة الثوابت المستخدمة للقمر).
شرح الإجابة:
للوصول إلى حل هذه المسألة، لا بد من الانطلاق من مبدأ كوني أساسي يربط بين حركة الأجسام في الفضاء. هذا المبدأ هو قانون كبلر الثالث للحركة الكوكبية، الذي يضع علاقة رياضية دقيقة بين زمن دوران جرم سماوي حول جرم آخر، ومتوسط المسافة الفاصلة بينهما. ببساطة، كلما زاد بعد القمر عن كوكبه، استغرق وقتاً أطول لإكمال دورة واحدة حوله، وهذا القانون ينطبق تماماً على قمرنا الطبيعي كما ينطبق على أي قمر اصطناعي يدور حول الأرض.
تنص الصيغة الرياضية لقانون كبلر الثالث على أن مربع النسبة بين الزمن الدوري لجسمين يدوران حول نفس المركز، يساوي مكعب النسبة بين متوسط بعدهما عن ذلك المركز. فإذا رمزنا للزمن الدوري للقمر بـ (T₁) ونصف قطر مداره بـ (r₁)، وللقمر الاصطناعي بـ (T₂) و (r₂)، فإن العلاقة تصبح كالتالي: (T₁/T₂)² = (r₁/r₂)³. هذه المعادلة هي مفتاح الحل الذي سيمكننا من حساب المسافة المجهولة للقمر الاصطناعي.
والآن، لننتقل إلى تطبيق هذه القاعدة. نحن نمتلك معطيات القمر الطبيعي، فزمنه الدوري (T₁) يبلغ حوالي 27.3 يوماً، ومتوسط بعده عن مركز الأرض (r₁) يقدر بـ 3.84 × 10⁸ متر. من ناحية أخرى، معطيات القمر الاصطناعي هي أن زمنه الدوري (T₂) يساوي يوماً واحداً (1 يوم)، والمطلوب هو إيجاد متوسط بعده (r₂). من هنا، يصبح كل ما نحتاجه هو إعادة ترتيب المعادلة السابقة لعزل المجهول (r₂).
بإعادة ترتيب المعادلة، نجد أن (r₂) تساوي الجذر التكعيبي لحاصل ضرب (r₁³) في (T₂/T₁)² . عند تعويض الأرقام، نقوم بحساب النسبة بين زمني الدوران (1 يوم / 27.3 يوم)، ثم نربع الناتج، وبعد ذلك نضربه في مكعب نصف قطر مدار القمر. الخطوة الأخيرة هي أخذ الجذر التكعيبي للنتيجة النهائية، وهو ما يعطينا مباشرة متوسط بعد القمر الاصطناعي عن مركز الأرض، والذي يقارب 4.23 × 10⁷ متر، أو 42,300 كيلومتر. هذا المدار الذي يستغرق يوماً واحداً بالضبط يُعرف بالمدار الجغرافي المتزامن، وهو المدار الذي توضع فيه أقمار البث التلفزيوني والاتصالات لتبقى ثابتة فوق نقطة معينة على الأرض.