اشترى عبد الله 4 كراسات و3 حقائب بمبلغ 181 ريالا واشترى عبد الرحمن كراسة وحقيبتين بمبلغ 94 ريالا

السؤال: اشترى عبد الله 4 كراسات و3 حقائب بمبلغ 181 ريالاً، واشترى عبد الرحمن كراسة واحدة وحقيبتين بمبلغ 94 ريالاً. اكتب نظاماً من معادلتين لتمثيل الموقف، ثم حدد أفضل طريقة لحله، وقم بحل النظام.

• الإجابة: ثمن الكراس الواحد هو 16 ريالاً، وثمن الحقيبة الواحدة هو 39 ريالاً.

شرح الإجابة:

إن جوهر هذه المسألة يكمن في ترجمة المعطيات اللفظية إلى لغة الرياضيات الدقيقة، وذلك عبر تحويل الكلمات إلى متغيرات وصياغة العلاقات بينها في شكل معادلات جبرية. لنبدأ بتحديد المجهولين في المسألة؛ فلنفترض أن سعر الكراس الواحد يُمثله الرمز (ك)، بينما سعر الحقيبة الواحدة يُمثله الرمز (ح). هذان الرمزان هما مفتاحنا لفك شفرة هذه المعضلة الحسابية.

بناءً على هذا الترميز، يمكننا الآن تشكيل نظامنا الخطي. مشتريات عبد الله، التي تتكون من 4 كراسات (4 ضَرْب ك) و3 حقائب (3 ضَرْب ح) وكلفتها الإجمالية 181 ريالاً، تُصاغ في المعادلة الأولى: 4ك + 3ح = 181. وبالمثل، فإن مشتريات عبد الرحمن، المكونة من كراس واحد (ك) وحقيبتين (2 ضَرْب ح) بتكلفة 94 ريالاً، تشكل لنا المعادلة الثانية: ك + 2ح = 94. وهكذا، أصبح لدينا نظام متكامل من معادلتين خطيتين بمتغيرين، يصف الموقف وصفاً رياضياً كاملاً.

والآن، نصل إلى مفترق طرق منهجي يتطلب اختيار الأسلوب الأمثل لحل هذا النظام. عند فحص المعادلتين، نلاحظ أن المعادلة الثانية (ك + 2ح = 94) تتيح لنا عزل المتغير (ك) بسهولة فائقة وبدون عمليات معقدة. هذه السهولة تجعل من طريقة “التعويض” الخيار الأكثر كفاءة وسرعة هنا، فهي تقلل من عدد الخطوات وتخفض احتمالية الخطأ الحسابي مقارنة بطرق أخرى مثل الحذف، التي كانت ستتطلب ضرب إحدى المعادلتين في معامل إضافي.

منطلقين من هذا الاختيار الاستراتيجي، نبدأ بتطبيق طريقة التعويض. من المعادلة الثانية، نعيد ترتيبها للتعبير عن قيمة (ك) بدلالة (ح)، فتصبح: ك = 94 – 2ح. هذا التعبير هو أداتنا المحورية، حيث سنقوم الآن بتعويضه مكان المتغير (ك) في المعادلة الأولى. ينتج عن ذلك: 4(94 – 2ح) + 3ح = 181. من خلال فك القوس بتوزيع الرقم 4، نحصل على: 376 – 8ح + 3ح = 181. وبعد تجميع الحدود المتشابهة، تتبسط المعادلة إلى: 376 – 5ح = 181. وبإعادة ترتيبها لعزل (ح)، نجد أن -5ح = -195، ومنها نكشف القيمة العددية الأولى: ح = 39 ريالاً، وهو ثمن الحقيبة الواحدة.

بعد أن تمكنا من تحديد سعر الحقيبة، تصبح عملية إيجاد سعر الكراس مباشرة للغاية. نعود إلى المعادلة المبسطة التي استنتجناها سابقاً (ك = 94 – 2ح) ونعوض فيها بقيمة (ح) التي توصلنا إليها: ك = 94 – 2(39). ينتج عن هذه العملية الحسابية أن ك = 94 – 78، مما يؤدي بنا إلى الحل النهائي للمتغير الثاني: ك = 16 ريالاً. وللتأكد من دقة هذا الاستنتاج، يمكننا التحقق من صحة القيم بتعويضها في المعادلتين الأصليتين، لنجد أنها تحقق كلتا العلاقتين بشكل تام، مؤكدةً أن سعر الكراس هو 16 ريالاً وسعر الحقيبة 39 ريالاً.