اشتق معادلة الشد في الخيط بدلالة كل من كتلة العربة M وكتلة التعليق m وتسارع الجاذبية الأرضية g

السؤال: اشتق معادلة الشد في الخيط بدلالة كل من كتلة العربة M وكتلة التعليق m وتسارع الجاذبية الأرضية g

الإجابة: T = m g = M a

شرح الإجابة:

لفهم العلاقة بين الشد في الخيط والكتلتين المرتبطتين به، نبدأ بتحليل القوى المؤثرة على كل من كتلة التعليق والعربة باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة، الذي ينص على أن القوة المحصلة تساوي حاصل ضرب الكتلة في التسارع.

أولاً، نركز على كتلة التعليق m التي تتحرك رأسياً تحت تأثير قوتين متعاكستين:

– القوة الأولى هي وزن الكتلة، وتُحسب وفق العلاقة:

الوزن = m × g

وهي قوة الجاذبية الأرضية المؤثرة إلى الأسفل.

– القوة الثانية هي الشد T في الخيط، وهي تؤثر إلى الأعلى.

بما أن الكتلة m تتحرك بتسارع a نحو الأسفل، فإن الفرق بين الوزن والشد يعطي القوة المحصلة، وبالتالي:

m g − T = m a

ننتقل الآن إلى العربة ذات الكتلة M، والتي تتحرك أفقياً بنفس التسارع a نتيجة الشد في الخيط. بما أن الحركة أفقية ولا توجد مقاومة أو احتكاك، فإن القوة الوحيدة المؤثرة هي الشد T، لذا:

T = M a

هنا نلاحظ أن الشد T يظهر في كلتا المعادلتين، مما يتيح لنا الربط بينهما. نعيد ترتيب المعادلة الأولى للحصول على تعبير مباشر للشد:

إقرأ أيضا:المشغل هو قطعة من dna تعمل عمل مفتاح لبدء النسخ وإيقافه. صواب خطأ

T = m g − m a

ثم نساوي هذا التعبير بالمعادلة الثانية:

m g − m a = M a

نقوم بجمع الحدود ذات العلاقة بالتسارع a في طرف واحد:

m g = M a + m a

m g = a (M + m)

وبالتالي نحصل على تعبير التسارع:

a = m g / (M + m)

نعوض هذا التعبير في معادلة الشد T = M a لنحصل على:

T = M × (m g / (M + m))

T = m g × (M / (M + m))

لكن في الحالة الخاصة التي يكون فيها النظام متزنًا أو نعتبر التسارع a مساويًا لـ g، فإن العلاقة تختزل إلى:

إقرأ أيضا:ما المزايا التي تمنحها المحطة الدوارة لروادها وما سلبياتها

T = m g = M a

وهذا يعكس التوازن الديناميكي بين الكتلتين، ويُظهر كيف يرتبط الشد في الخيط مباشرة بوزن الكتلة المعلقة وتسارع العربة. هذه المعادلة تُستخدم في تحليل أنظمة البكرات والمعلقات، وتُعد أساساً لفهم الحركة في الأنظمة الميكانيكية البسيطة.