السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (-3 ، -2) والمعامد للمستقيم ص = -2س + 4
- الإجابة: ص = ١/٢س – ١/٢.
شرح الإجابة:
إن الوصول إلى حل هذه المسألة الهندسية يقتضي تفكيكها إلى مراحل منطقية متسلسلة، فجوهر الأمر يكمن في فهم العلاقة بين المستقيمات المتعامدة وكيفية استثمار نقطة معينة لتحديد معادلة فريدة. نبدأ رحلتنا من المعادلة المعطاة، وهي ص = -2س + 4، التي تمثل دليلاً أساسياً نستخلص منه المعلومة الأولى.
من هذه المعادلة، يتضح لنا أن ميل المستقيم الأول، أو ما يُعرف بمعامل توجيهه، هو -2. وهنا تبرز قاعدة جوهرية في الهندسة التحليلية، وهي أن ميل المستقيم العمودي على مستقيم آخر هو المقلوب السالب لميله. بناءً على ذلك، فإن ميل المستقيم المطلوب الذي نسعى لإيجاده هو المقلوب السالب للعدد -2، أي (1/2). بهذه الخطوة، نكون قد حصلنا على الجزء الأول من معادلتنا الجديدة، ليصبح شكلها المبدئي هو: ص = (1/2)س + ب، حيث يمثل الرمز “ب” المقطع الصادي المجهول.
والآن، ننتقل إلى المرحلة التالية من التحليل، حيث نستخدم المعلومة الثانية المتوفرة لدينا، وهي أن المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (-3 ، -2). هذه النقطة ليست عشوائية، بل هي مفتاح الحل النهائي. بما أن هذه النقطة تقع على المستقيم، فهي بالضرورة تحقق معادلته. ومن هذا المنطلق، نقوم بتعويض قيمة “س” بـ -3 وقيمة “ص” بـ -2 في المعادلة المبدئية التي توصلنا إليها.
يؤدي هذا التعويض إلى المعادلة التالية: -2 = (1/2)(-3) + ب. ومن خلال حل هذه المعادلة البسيطة، نكشف عن قيمة “ب”. عند ضرب (1/2) في -3 نحصل على -3/2، فتصبح المعادلة: -2 = -3/2 + ب. وبإضافة 3/2 إلى طرفي المعادلة، نجد أن قيمة “ب” تساوي -1/2. وبالتالي، نكون قد كشفنا عن آخر مجهول في معادلتنا.
وفي الختام، بعد أن استخلصنا الميل (1/2) وحددنا قيمة المقطع الصادي (-1/2)، نقوم بدمج هاتين النتيجتين معًا لصياغة المعادلة النهائية بصيغة الميل والمقطع. وبذلك، نصل إلى الإجابة الكاملة والدقيقة، وهي أن معادلة المستقيم المطلوب هي: ص = ١/٢س – ١/٢.