اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين (2 ، 5) ، (-2 ، 8)

السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين (2 ، 5) ، (-2 ، 8)

• الإجابة: ص = -٣/٤ س + ١٣/٢

شرح الإجابة:

إن إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يربط بين إحداثيين محددين في المستوى الديكارتي لهو عملية منطقية متسلسلة، تبدأ بتحديد الخاصية الأساسية التي تميز هذا المستقيم عن غيره. هذه الخاصية الجوهرية هي “الميل”، الذي يعبر عن درجة انحدار الخط ومعدل تغيره. لحساب هذا المعامل، نطبق علاقة رياضية بسيطة تقوم على قسمة الفارق في الإحداثيات الصادية (التغير الرأسي) على الفارق في الإحداثيات السينية (التغير الأفقي) بين النقطتين المعطاتين.

وانطلاقًا من هذه القاعدة، فإن الخطوة التأسيسية الأولى تتمثل في حساب معامل الانحدار (م) للنقطتين (2 ، 5) و (-2 ، 8). يتم ذلك عبر طرح الإحداثيات المتناظرة: (8 – 5) مقسومًا على (-2 – 2)، فتكون النتيجة هي 3 مقسومة على -4. إذن، فإن ميل هذا المستقيم يساوي -٣/٤. تشير الإشارة السالبة هنا إلى أن الخط يتجه للأسفل عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين، وهي معلومة تصف سلوك المستقيم بصريًا.

بعد أن أمسكنا بطرف الخيط الأول، وهو معامل التوجيه، ننتقل إلى بناء الهيكل العام للمعادلة. نستخدم لهذا الغرض ما يعرف بـ “صيغة الميل ونقطة”، وهي قالب رياضي مرن يأخذ الشكل التالي: ص – ص₁ = م (س – س₁). في هذه الصيغة، نستعين بالميل الذي حسبناه (-٣/٤) وإحدى النقطتين، ولنختر النقطة (2 ، 5) لسهولة أرقامها. بالتعويض المباشر، نحصل على المعادلة الأولية: ص – ٥ = -٣/٤ (س – ٢). هذه الصيغة صحيحة تمامًا، لكنها ليست بالشكل النهائي المطلوب.

وهنا نصل إلى المرحلة الحاسمة، وهي تحويل الصيغة السابقة إلى “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، والتي تعد الصيغة الأكثر شيوعًا ووضوحًا. يتطلب هذا الأمر بضع خطوات جبرية دقيقة، تبدأ بفك القوس عبر توزيع الميل على ما بداخله، فتصب