اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1 ، 4) ، (3 ، 10)

السؤال: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1 ، 4) ، (3 ، 10)

شرح الإجابة:

إن إيجاد معادلة خط مستقيم في فضاء إحداثي هو بمثابة فك شفرة رياضية تكشف عن علاقة فريدة وثابتة بين متغيرين، س و ص. وفي حالتنا هذه، نحن نمتلك مفتاحين لهذه الشفرة، وهما النقطتان (1 ، 4) و (3 ، 10). ومن هذا المنطلق، فإن مهمتنا تتلخص في صياغة معادلة نهائية على هيئة “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، والتي تعبر بوضوح عن هوية هذا المستقيم.

تتمثل الخطوة الأولية والجذرية في تحديد “ميل” المستقيم أو درجة انحداره. إن هذا الميل، الذي نرمز له بالحرف (م)، ليس إلا مقياساً لمدى التغير الرأسي (على المحور الصادي) مقابل كل وحدة من التغير الأفقي (على المحور السيني). وعليه، نطبق القانون الأساسي لحساب الميل: م = (ص₂ – ص₁) / (س₂ – س₁). بتعويض قيم النقطتين المعطاتين، يصبح لدينا: م = (10 – 4) / (3 – 1)، وهو ما يساوي 6 / 2. إذن، فقيمة الميل (م) هي 3، وهذا الرقم يعني أن المستقيم يرتفع ثلاث وحدات رأسياً لكل وحدة يتقدمها أفقياً.

والآن، بعد أن أمسكنا بقيمة الميل، وهي جوهر حركة المستقيم، ننتقل إلى مرحلة بناء الهيكل الأولي للمعادلة. هنا نستعين بصيغة تعرف بـ “صيغة الميل ونقطة”، وهي أداة بالغة الدقة شكلها: ص – ص₁ = م(س – س₁). تتيح لنا هذه الصيغة دمج الميل الذي استخرجناه مع إحداثيات إحدى النقطتين المعلومتين. فلنختر النقطة (1 ، 4) على سبيل المثال، وبالتعويض المباشر نحصل على المعادلة الأولية: ص – 4 = 3(س – 1). هذه المعادلة صحيحة تماماً، لكنها ليست في الشكل النهائي المطلوب.

مما يقودنا مباشرة إلى الخطوة الأخيرة والحاسمة، ألا وهي تحويل المعادلة من صيغة الميل ونقطة إلى “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب) المطلوبة في السؤال. تتم هذه العملية عبر خطوات جبرية بسيطة ومنظمة. نبدأ بتوزيع الميل على القوس: ص – 4 = 3س – 3. ثم، بهدف عزل المتغير (ص) في طرف بمفرده، نضيف الرقم 4 إلى كلا طرفي المعادلة، فتصبح: ص = 3س – 3 + 4. وبتبسيط الطرف الأيسر، نصل إلى الشكل النهائي للمعادلة وهو: ص = 3س + 1. هذه هي المعادلة النهائية التي تصف المستقيم المار بالنقطتين بدقة متناهية، حيث يظهر الميل (م = 3) والمقطع الصادي (ب = 1)، أي أن المستقيم يقطع المحور الرأسي عند النقطة (0 ، 1).