اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-1 ، 4) وميله -1

السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-1 ، 4) وميله -1

• الإجابة: ص = –س + ٣

شرح الإجابة:

إن المنطلق الأساسي لتحديد هوية أي خط مستقيم في فضاء المستوى الإحداثي يرتكز على معلومتين جوهريتين: نقطة يمر بها، وميل يحدد اتجاه انحداره. وفي مسألتنا هذه، نمتلك كلا العنصرين، حيث تُمثل النقطة (-١، ٤) مرساة هذا المستقيم، بينما يحدد الميل -١ مساره بدقة. ومن هنا، فإن الأداة الرياضية الأنسب للشروع في الحل هي “صيغة الميل والنقطة”، التي تُعد بمثابة القانون الحاكم لمثل هذه الحالات.

وبناءً على هذه المُعطيات الراسخة، نشرع في تطبيق الصيغة: ص – ص₁ = م (س – س₁). دعنا نفكك رموزها؛ فالمتغير “م” يمثل الميل وقيمته -١، أما “س₁” و “ص₁” فهما الإحداثي السيني والإحداثي الصادي للنقطة المعلومة، أي -١ و ٤ على التوالي. بالتعويض المباشر والدقيق، نضع كل قيمة في موضعها الصحيح، فتتشكل المعادلة الأولية على النحو التالي: ص – ٤ = -١ (س – (-١)).

على إثر ذلك، ننتقل بخطوة منهجية إلى مرحلة التبسيط الجبري، وهي عملية تهدف إلى صقل المعادلة وإظهارها في صورتها الأكثر وضوحاً. نلاحظ أن طرح قيمة سالبة (س – (-١)) هو في حقيقته عملية جمع، فتتحول إلى (س + ١). الآن، يتجلى لنا جوهر العملية التالية، وهي توزيع الميل -١ على القوس، ليصبح الطرف الأيسر من المعادلة: -س – ١. وبذلك، تصل المعادلة إلى شكلها الجديد: ص – ٤ = -س – ١.

وصولاً إلى المبتغى النهائي، وهو عزل المتغير “ص” في طرف مستقل للحصول على “صيغة الميل والمقطع”، يتوجب علينا التخلص من العدد -٤ المجاور له. يتحقق هذا بإضافة العدد ٤ إلى كلا طرفي المعادلة للحفاظ على توازنها. هذه الإضافة تؤدي إلى إلغاء العدد -٤ من الطرف الأيمن، وفي الطرف الأيسر نجمعه مع -١ (-١ + ٤)، لتكون المحصلة النهائية هي ٣. وهكذا، تتكشف لنا المعادلة في صورتها النهائية الأنيقة: ص = -س + ٣.

والأمر لا يقتصر على مجرد إجابة، بل يمتد إلى فهم أعمق. هذه المعادلة، ص = -س + ٣، ليست مجرد رموز، بل هي وصف دقيق لعلاقة خطية لانهائية بين “س” و”ص”. إنها ترسم مساراً واضحاً على الخريطة الإحداثية، بحيث أن كل نقطة تقع على هذا الخط المستقيم تحقق هذه العلاقة. كما تكشف لنا أن هذا المستقيم يقطع المحور الصادي عند النقطة (٠، ٣)، وهو ما يُعرف بـ “المقطع الصادي”، ليُكتمل بذلك فهمنا الهندسي والجبري لهذه العلاقة الرياضية.