السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-2، 5) وميله 3
- الإجابة: ص = ٣س + ١١
شرح الإجابة:
إن جوهر الهندسة التحليلية يكمن في القدرة على ترجمة الخصائص الهندسية إلى علاقات جبرية دقيقة. وفي هذا السياق، تُمثل معادلة الخط المستقيم الأداة الأساسية لوصف مساره في المستوى الإحداثي. الصيغة المحورية التي نرتكز عليها هنا هي صيغة الميل والمقطع: ص = م س + ب، حيث يرمز “م” إلى ميل المستقيم أو مُعدل تغيره، بينما يمثل “ب” المقطع الصادي، أي النقطة التي يقطع عندها المستقيم محور الصادات العمودي.
نتجه الآن إلى معطيات المسألة، فلدينا معلومتان أساسيتان: نقطة محددة يمر بها المستقيم وهي (-2، 5)، وميل ثابت لهذا المستقيم وقيمته 3. تمثل النقطة زوجًا مرتبًا (س، ص) يحقق المعادلة بالضرورة، في حين أن الميل “م” يحدد درجة انحدار الخط. ومن خلال دمج هذه المعطيات، يصبح هدفنا هو الكشف عن القيمة المجهولة الوحيدة في بنيتنا الرياضية، وهي المقطع الصادي “ب”.
وهنا يكمن مفتاح الحل، إذ نقوم بتعويض القيم المعلومة في الصيغة العامة. نستبدل “ص” بالقيمة 5، و”س” بالقيمة -2، و”م” بالقيمة 3، فتتحول المعادلة إلى الشكل التالي: 5 = (3)(-2) + ب. عند إجراء العملية الحسابية، نجد أن حاصل ضرب 3 في -2 هو -6، مما يبسط المعادلة إلى: 5 = -6 + ب. ولعزل المتغير “ب”، نضيف الرقم 6 إلى كلا طرفي المعادلة، الأمر الذي يقودنا مباشرةً إلى قيمة المقطع الصادي: ب = 11.
وبامتلاكنا الآن لكافة العناصر الضرورية، وهما الميل “م” الذي يساوي 3، والمقطع الصادي “ب” الذي يساوي 11، نصل إلى المرحلة النهائية وهي صياغة المعادلة النهائية للمستقيم. بإعادة تركيب الصيغة الأصلية مع هذه الثوابت المحددة، نحصل على المعادلة المطلوبة بصورتها النهائية والدقيقة: ص = 3س + 11. هذه ليست مجرد إجابة، بل هي الوصف الجبري الشامل والفريد للخط المستقيم الذي يفي بالشروط المذكورة.