اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، 1) وميله 2

السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، 1) وميله 2

• الإجابة: ص = ٢س – ٥

شرح الإجابة:

إن إيجاد معادلة أي خط مستقيم في المستوى الإحداثي يتطلب فهم العلاقة الجوهرية التي تربط بين مكوناته. في هذه المسألة، لدينا عنصران أساسيان: نقطة محددة هي بمثابة مرساة للمستقيم في الفضاء، وميل يحدد اتجاهه ودرجة انحداره. فالنقطة (3، 1) هي موقعنا المعلوم، والميل الذي يساوي 2 هو بمثابة البوصلة التي توجه مسار هذا المستقيم.

والمنطلق الأساسي لحل هذه المسألة يكمن في صيغة رياضية دقيقة تُعرف بـ “صيغة الميل ونقطة”، وهي القاعدة التي تحكم هذا النوع من العلاقات الخطية. تنص هذه القاعدة على أن: ص – ص₁ = م (س – س₁). هنا، يمثل الرمز (م) ميل المستقيم، بينما يمثل الزوج (س₁، ص₁) إحداثيات النقطة المعلومة التي يمر بها. هذه الصيغة هي الأداة التي سنستخدمها لبناء المعادلة المطلوبة خطوة بخطوة.

انطلاقًا من هذه المعطيات، نبدأ بتعويض القيم التي بين أيدينا في هيكل الصيغة الأساسية. لدينا الميل (م) يساوي 2، ولدينا النقطة (س₁، ص₁) وهي (3، 1). وعليه، يصبح الإحداثي السيني س₁ مساويًا لـ 3، والإحداثي الصادي ص₁ مساويًا لـ 1. فتتحول الصيغة العامة إلى تطبيق خاص بمسألتنا على النحو التالي: ص – 1 = 2 (س – 3).

بعد ذلك، ننتقل إلى مرحلة الصقل والتبسيط الجبري للوصول إلى الشكل النهائي والأكثر شيوعًا للمعادلة، وهو “صيغة الميل والمقطع”. نبدأ بفك الأقواس عن طريق توزيع الميل (2) على المتغير (س) والثابت (-3)، مما ينتج عنه: ص – 1 = 2س – 6. والآن، لعزل المتغير (ص) في طرف بمفرده، نضيف الرقم 1 إلى كلا طرفي المعادلة، فتصبح: ص = 2س – 6 + 1.

وصولاً إلى الخاتمة المنطقية، وبعد إجراء عملية الجمع الأخيرة، تتجلى لنا المعادلة في صورتها النهائية المبسطة: ص = 2س – 5. هذه العلاقة الجبرية ليست مجرد نتيجة، بل هي القانون الذي يصف كل نقطة تقع على هذا المستقيم إلى ما لا نهاية. فهي تخبرنا بأن قيمة أي إحداثي صادي على هذا الخط تساوي دائمًا ضعف قيمة الإحداثي السيني المقابل له مطروحًا منه 5، وهو ما يؤكد صحة مرور المستقيم بنقطتنا الأصلية (3 ، 1)، حيث إن: 1 = (2 × 3) – 5.