السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (4 ، 7) والمعامد للمستقيم ص= 2/3س – 1 بصيغة الميل والمقطع.
- الإجابة: ص = -٣/٢س + ١٣.
شرح الإجابة:
إن حل هذه المسألة الهندسية يرتكز على فهم العلاقة الجوهرية بين المستقيمات المتعامدة في المستوى الإحداثي. لدينا معطيات واضحة: مستقيم مرجعي معادلته ص= ٢/٣س – ١، ونقطة محددة هي (٤ ، ٧) يجب أن يمر بها المستقيم الجديد. الشرط الأساسي الذي يربط بينهما هو “التعامد”، وهذا الشرط هو مفتاح الحل بأكمله.
نبدأ أولاً بتحليل المستقيم المرجعي. إن معادلته معطاة بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب)، مما يكشف لنا عن ميله بشكل مباشر. ميل هذا المستقيم (م₁) هو المعامل العددي للمتغير “س”، أي ٢/٣. من هنا، ننتقل إلى المبدأ الأساسي للمستقيمات المتعامدة: ميل أي مستقيم يعامد مستقيماً آخر هو “المقلوب السالب” لميل المستقيم الأول. بناءً على هذه القاعدة الرياضية الثابتة، فإن ميل المستقيم المطلوب (م₂) يُحسب كالتالي: -١ / (٢/٣)، وهو ما يساوي -٣/٢. لقد حولنا الآن علاقة التعامد الهندسية إلى قيمة عددية دقيقة للميل.
بامتلاكنا للميل الجديد (-٣/٢)، تتضح لنا الهيكلية الأولية لمعادلة المستقيم المنشود: ص = -٣/٢س + ب. يبقى لدينا مجهول واحد فقط وهو “ب”، الذي يمثل المقطع الصادي، أي النقطة التي يقطع عندها المستقيم المحور الصادي. لتحديد قيمة “ب”، نستخدم المعلومة الثانية الجوهرية وهي النقطة (٤ ، ٧). بما أن هذه النقطة تقع على المستقيم، فإن إحداثياتها تحقق معادلته.
عند هذه النقطة الحاسمة، نقوم بتعويض قيم الإحداثيات س=٤ و ص=٧ في المعادلة التي توصلنا إليها. ينتج عن هذا التعويض معادلة خطية بسيطة: ٧ = (-٣/٢) × ٤ + ب. وبإجراء العملية الحسابية، نجد أن ٧ = -٦ + ب. ومن خلال إضافة ٦ إلى طرفي المعادلة، نكشف عن قيمة المقطع الصادي، لنجد أن ب = ١٣.
والآن، بعد أن تحددت جميع عناصر المعادلة اللازمة، وهما الميل (-٣/٢) والمقطع الصادي (١٣)، نقوم بتركيبها معاً لصياغة الإجابة النهائية. بوضع هذه القيم في صيغة الميل والمقطع القياسية، نصل إلى المعادلة النهائية التي تحقق كافة الشروط المطلوبة، وهي: ص = -٣/٢س + ١٣. هذه المعادلة تمثل بصورة دقيقة المستقيم الوحيد الذي يمر بالنقطة (٤ ، ٧) ويقف متعامداً على المستقيم ص= ٢/٣س – ١.