السؤال: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (-1 ، 6) ، (2 ، 4)
- الإجابة: ص – ٦ = -٢/٣ (س + ١)
شرح الإجابة:
إن كل خط مستقيم في المستوى الإحداثي هو في جوهره قصة علاقة ثابتة بين قيم “س” و “ص” لجميع النقاط التي تقع عليه. ولكي نصف هذه العلاقة ونصيغها في معادلة رياضية، فإننا نحتاج إلى مفتاحين أساسيين: نقطة تقع على هذا المستقيم، ومقدار ميله أو انحداره. وفي هذه المسألة، لدينا نقطتان، وهو ما يزيد عن حاجتنا، مما يمنحنا رفاهية الاختيار ووسيلة للتحقق.
والخطوة الأولى الجوهرية تتمثل في تحديد ميل هذا المستقيم، الذي يعبر عن درجة انحداره. ويُحسب الميل بقسمة التغير الرأسي (فرق الصادات) على التغير الأفقي (فرق السينات) بين أي نقطتين عليه. بتطبيق هذه القاعدة على النقطتين المُعطاة (س١، ص١) = (-١، ٦) و (س٢، ص٢) = (٢، ٤)، نصل إلى الميل (م) كالتالي: م = (٤ – ٦) / (٢ – (-١)) = -٢ / (٢ + ١) = -٢/٣. هذه القيمة السالبة للميل تخبرنا بأن المستقيم ينحدر إلى الأسفل كلما تحركنا من اليسار إلى اليمين على المحور السيني.
وبعد أن أصبح الميل بحوزتنا، ننتقل إلى استخدام إحدى الصيغ الأساسية لمعادلة الخط المستقيم، وهي صيغة “الميل ونقطة”. تنص هذه الصيغة على أن: ص – ص١ = م (س – س١). الآن، كل ما علينا فعله هو اختيار إحدى النقطتين (ولنختر النقطة (-١، ٦) لسهولة التعويض) ودمجها مع الميل الذي حسبناه. بالتعويض المباشر، نضع قيمة الميل م = -٢/٣، وقيمة الإحداثي السيني س١ = -١، وقيمة الإحداثي الصادي ص١ = ٦.
من خلال هذا التعويض الدقيق، تتشكل المعادلة أمامنا: ص – ٦ = -٢/٣ (س – (-١)). وبتبسيط القوس، تتحول المعادلة إلى صورتها النهائية والأكثر وضوحًا: ص – ٦ = -٢/٣ (س + ١). هذه المعادلة ليست مجرد نتيجة، بل هي التعبير الرياضي الدقيق الذي يربط أي نقطة (س، ص) تقع على هذا المستقيم المحدد، وتلخص قصته الهندسية بأكملها في علاقة جبرية واحدة متكاملة.