السؤال: اكتب معادلة يمكن استعمالها لإيجاد طول الضلع المجهول في مثلث قائم الزاوية طول وتره 101 سم وطول أحد ساقيه 99 سم ثم أوجد الطول المجهول
- الإجابة: المعادلة هي (أ)² + (٩٩)² = (١٠١)²، ومنها نجد أن طول الضلع المجهول (أ) يساوي ٢٠ سم.
شرح الإجابة:
في صميم هذا الإشكال الهندسي تكمن قاعدة أساسية لا غنى عنها عند التعامل مع المثلثات قائمة الزاوية، وهي نظرية فيثاغورس. تنص هذه العلاقة الرياضية الجوهرية على أن مربع طول الوتر (الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (الساقين القائمين). يمكن التعبير عن هذه القاعدة بالصيغة الرمزية: جـ² = أ² + ب²، حيث (جـ) يمثل الوتر، بينما (أ) و (ب) يمثلان الساقين.
وبناءً على ذلك، ننتقل إلى تطبيق هذه المعطيات على المسألة الماثلة أمامنا. لدينا مثلث قائم الزاوية، حُدِّد فيه طول الوتر بـ 101 سم، وطول أحد ساقيه بـ 99 سم، بينما يظل طول الساق الأخرى مجهولاً، والذي سنرمز له بالمتغير (أ). من خلال التعويض المباشر في معادلة فيثاغورس، تتشكل لدينا المعادلة التالية: (أ)² + (99)² = (101)². هذه المعادلة هي الأداة الدقيقة التي ستقودنا إلى كشف قيمة المجهول.
ومن هنا، تتجلى الخطوة التالية في حل هذه المعادلة الجبرية. نبدأ أولاً بحساب قيمة المربعات المعلومة: مربع العدد 99 هو 9801، ومربع العدد 101 هو 10201. فتتحول المعادلة إلى الصيغة: (أ)² + 9801 = 10201. ولكي نعزل المتغير المجهول في طرف بمفرده، نطرح 9801 من كلا طرفي المعادلة، مما ينتج عنه: (أ)² = 10201 – 9801. عند إتمام عملية الطرح، نصل إلى أن (أ)² = 400.
وصولاً إلى النتيجة النهائية، يتبقى لنا إيجاد القيمة الفعلية للضلع (أ) وليس مربعه. يتم ذلك من خلال تطبيق عملية الجذر التربيعي على طرفي المعادلة. وبحساب الجذر التربيعي للعدد 400، نكتشف أن قيمته هي 20. وعليه، فإن طول الضلع المجهول في هذا المثلث القائم الزاوية هو 20 سم، وبذلك تكتمل أضلاع المثلث وتتحقق صحة نظرية فيثاغورس.