السؤال: الزمن الدوري لأحد أقمار المشتري 7.15 أيام فكم وحدة يبلغ نصف قطر مداره؟
- الإجابة: 11 وحدة
شرح الإجابة:
لفهم العلاقة بين الزمن الدوري ونصف قطر المدار، نلجأ إلى القانون الثالث للعالم كبلر، الذي يربط بين مربع الزمن الدوري لأي جسم يدور حول كتلة مركزية ومكعب نصف المحور الرئيسي لمداره. هذا القانون يُعبّر عنه رياضياً بالصيغة:
T² ÷ r³ = ثابت
ولكي نحدد هذا الثابت، نستخدم البيانات الواردة في مثال 1، حيث كان الزمن الدوري لقمر أوروبا 3.55 أيام، ونصف قطر مداره 6.71 وحدة. نبدأ بحساب القيم التالية:
– مكعب نصف القطر: 6.71 × 6.71 × 6.71 = 302.1
– مربع الزمن الدوري: 3.55 × 3.55 = 12.60
– إذن الثابت k = 12.60 ÷ 302.1 ≈ 0.0417
بعد تحديد قيمة الثابت، ننتقل إلى القمر الجديد الذي يبلغ زمن دورانه 7.15 أيام. نستخدم نفس القانون ولكن هذه المرة نبحث عن نصف قطر المدار r، فنرتب المعادلة على الشكل التالي:
r³ = T² ÷ k
نبدأ بحساب مربع الزمن الدوري الجديد:
7.15 × 7.15 = 51.12
ثم نقسم هذه القيمة على الثابت:
51.12 ÷ 0.0417 ≈ 1225.9
إقرأ أيضا:لصنع كعكة تمر واحدة تحتاج مها إلى 2/3 كوب من الطحين و 3/8 كجم من التمر المطحون، إذا استعملت مها 2 2/3 كوب من الطحين و 1 1/2 كجم من التمر المطحون فكم كعكة تصنع؟الخطوة الأخيرة هي استخراج الجذر التكعيبي للنتيجة:
³√1225.9 ≈ 10.84
وبتقريب الناتج إلى أقرب وحدة كاملة، نحصل على نصف قطر المدار:
≈ 11 وحدة
هذا الحل يوضح بدقة كيف يمكن استخدام قانون كبلر الثالث لتحليل حركة الأقمار حول الكواكب، ويُبرز أهمية العلاقات الرياضية في فهم الظواهر الفلكية بطريقة منهجية وعلمية.