جدول المحتويات
السؤال: بالنظر إلى أن الزمن الدوري لدوران القمر حول الأرض هو 27.3 يوماً، ومتوسط بعده عن مركز الأرض يبلغ 3.90 × 10⁵ كم، يُطلب ما يلي:
أ) حساب الزمن الدوري لقمر اصطناعي يدور على بعد 6.70 × 10³ كم عن مركز الأرض باستخدام قوانين كبلر.
ب) تحديد المسافة التي تفصل هذا القمر الاصطناعي عن سطح الأرض.
- الإجابة: أ) 88.6 دقيقة، ب) 3.2×10^2 km
شرح الإجابة:
في البداية، نلجأ إلى القانون الثالث لكبلر، الذي يربط بين الزمن الدوري للجسم المداري وبين بعده عن مركز الجذب، حيث ينص على أن مربع الزمن الدوري يتناسب طردياً مع مكعب نصف قطر المدار. هذا القانون يُكتب بصيغة مقارنة بين جسمين يدوران حول نفس الكوكب كما يلي:
T₁ ÷ T₂ = (r₁ ÷ r₂)^(3/2)
وبما أن القمر الطبيعي يدور حول الأرض بزمن دوري مقداره 27.3 يوماً، فإننا نحوله إلى دقائق لتوحيد الوحدات:
27.3 × 24 × 60 = 39312 دقيقة
ثم ننتقل لحساب النسبة بين نصف قطر مدار القمر الاصطناعي ونصف قطر مدار القمر الطبيعي:
6.70×10^3 ÷ 3.90×10^5 = 0.01718
نرفع هذه النسبة للقوة 3/2 حسب قانون كبلر:
0.01718^(3/2) ≈ 2.26×10^–3
إقرأ أيضا:ملأ أحد الطلاب وعاء سعته 500 ملل بماء مقطر ووعاء آخر سعته 600 ملل بماء مالح إذا تبخرت كمية الماء المقطر جميعها في 4 أيام بينما تبخرت كمية الماءوبضرب هذا الناتج بزمن دوران القمر الطبيعي نحصل على الزمن الدوري للقمر الاصطناعي:
39312 × 2.26×10^–3 ≈ 88.6 دقيقة
وبذلك نكون قد استنتجنا الزمن الدوري للقمر الاصطناعي بدقة، مستندين إلى العلاقة الرياضية التي تربط بين الأجسام المدارية حول نفس الكوكب.
إقرأ أيضا:حل لغز عامل بيته بلا طوب وحوائطه بيضاء كالثلج لا نوافذ فيها ولا أبواب فإذا جذبت الجدران صارت ثيابا فما هوأما لحساب المسافة بين القمر الاصطناعي وسطح الأرض، فإننا نطرح نصف قطر الأرض من بعد القمر الاصطناعي عن مركزها:
6.70×10^3 – 6.38×10^3 = 0.32×10^3 km
وبتحويل الناتج إلى صورة علمية مبسطة:
0.32×10^3 km = 3.2×10^2 km
وهكذا، يتضح أن القمر الاصطناعي يبعد عن سطح الأرض مسافة تقدر بـ 320 كيلومتراً، وهي مسافة نموذجية للأقمار الصناعية ذات المدار المنخفض، مثل أقمار الاتصالات والمراقبة الأرضية.