المثلث أ ب ج قائم عند أ ، فقارن بين : القيمة الأولى |أ ب| + | ب ج| ، والقيمة الثانية |أ ب| + |أ ج|

السؤال: المثلث أ ب ج قائم عند أ ، فقارن بين : القيمة الأولى |أ ب| + | ب ج| ، والقيمة الثانية |أ ب| + |أ ج|

• الإجابة: القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية.

شرح الإجابة:

للوصول إلى الحقيقة في هذه المقارنة، علينا أن نتجرد من التعقيدات الظاهرية وننظر مباشرةً إلى جوهر الهندسة. المسألة تطرح قيمتين، وكلتاهما تحتويان على الضلع |أ ب| كعنصر مشترك. هذا التشابه هو مفتاح الحل، إذ يمكننا تبسيط المقارنة بحذف هذا العنصر المشترك من الطرفين، وكأننا نضعهما على كفتي ميزان ونرفع وزناً متساوياً منهما؛ فتبقى المقارنة الحقيقية منحصرة بين الضلعين المتبقيين: |ب ج| في القيمة الأولى، و |أ ج| في القيمة الثانية.

وهنا تبرز الخاصية الأساسية للمثلث القائم الزاوية. بما أن المثلث قائم عند النقطة “أ”، فإن الضلع المقابل لهذه الزاوية القائمة، وهو الضلع |ب ج|، يكتسب اسماً ومكانة خاصة، فهو “الوتر”. أما الضلعان الآخران، |أ ب| و |أ ج|، فهما “ضلعا القائمة”. ومن القواعد الراسخة في علم المثلثات، والتي لا تقبل الجدل، أن الوتر هو أطول أضلاع المثلث القائم على الإطلاق.

إذاً، وبناءً على هذه الحقيقة الهندسية الثابتة، فإن طول الوتر |ب ج| هو بالضرورة أكبر من طول الضلع |أ ج|. وبما أن |ب ج| > |أ ج|، فعندما نضيف نفس القيمة الثابتة، وهي طول الضلع |أ ب|، إلى كلا الطرفين، فإن هذه الإضافة لن تغير من حقيقة تفوق الطرف الأول. فالطرف الأكبر سيبقى أكبر، تماماً كما لو أضفت نفس العدد إلى رقمين مختلفين، فالأكبر منهما سيظل كذلك.

ولتوضيح الفكرة بصورة أعمق، يمكننا الاستناد إلى مبرهنة فيثاغورس الشهيرة التي تحكم علاقات الأضلاع في المثلث القائم. تنص المبرهنة على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، أي: (ب ج)² = (أ ب)² + (أ ج)². هذه المعادلة تكشف بوضوح أن مربع |ب ج| هو نتاج جمع قيمتين موجبتين، مما يجعله حتماً أكبر من كل منهما على حدة. وبالتالي، فإن |ب ج| نفسه أطول من |أ ب| وأطول من |أ ج|. وعليه، فإن القيمة الأولى |أ ب| + | ب ج| تتفوق بشكل قاطع على القيمة الثانية |أ ب| + |أ ج| لأنها تستبدل الضلع الأصغر |أ ج| بالضلع الأكبر |ب ج|.