السؤال: باعتقادك هل يمكن تمثيل الجذر التربيعي لأي عدد كلي؟ وضح إجابتك.
- الإجابة: نعم، من الممكن تمثيل الجذر التربيعي لأي عدد كلي تمثيلاً دقيقاً.
شرح الإجابة:
إن الإجابة على هذا السؤال تكشف عن علاقة عميقة وجميلة بين عالم الجبر والهندسة. فالأمر يتجاوز مجرد إيجاد رقم على الآلة الحاسبة، بل يمتد إلى إمكانية تحديد الموقع الدقيق لذلك الرقم في الفضاء الهندسي. بدايةً، إن الأعداد التي تمثل مربعات كاملة، مثل 4 أو 9 أو 25، جذورها التربيعية هي أعداد كلية بسيطة (2، 3، 5)، وتحديد موقعها على خط الأعداد أمر بديهي ومباشر. ولكن، يتجلى العمق الحقيقي للمسألة عند التعامل مع الأعداد التي ليست مربعات كاملة، كالجذر التربيعي للعدد 2 أو 3 أو 17، والتي تنتج أعداداً غير نسبية بفاصلة عشرية لا نهائية وغير متكررة. وهنا، تبرز عبقرية الهندسة الإقليدية لتقديم حل حاسم. فمن خلال الاستعانة بنظرية فيثاغورس، يمكننا تجسيد هذه الجذور هندسياً بدقة متناهية. على سبيل المثال، لتحديد موقع الجذر التربيعي للعدد 2، نقوم برسم مثلث قائم الزاوية يكون طول كل ضلع من ضلعي القائمة فيه وحدة واحدة (1). ووفقاً للنظرية، سيكون طول الوتر مساوياً للجذر التربيعي لمجموع مربعي الضلعين، أي الجذر التربيعي لـ (1²+1²)، وهو ما يساوي جذر 2. عندئذٍ، يمكننا نقل طول هذا الوتر باستخدام الفرجار إلى خط الأعداد، مبتدئين من الصفر، لتشير نهايته إلى الموقع الدقيق للجذر التربيعي للعدد 2. وهذا المبدأ لا يقتصر على ذلك فحسب، بل يمكن تعميمه. فلو أردنا تمثيل الجذر التربيعي للعدد 5، نرسم مثلثاً قائم الزاوية طول أحد ضلعيه 1 والآخر 2، فيكون طول الوتر هو الجذر التربيعي لـ (1²+2²)، أي جذر 5. وحتى بالنسبة للجذور التي لا تنتج عن مجموع مربعين كاملين، مثل جذر 3، يمكننا بناؤها بشكل تسلسلي؛ فبعد تحديد طول جذر 2، نستخدمه كضلع في مثلث جديد مع ضلع آخر طوله 1، ليكون الوتر الجديد هو الجذر التربيعي لـ ((√2)²+1²)، أي جذر 3. وبهذه الطريقة المتسلسلة، التي تعرف أحياناً بـ “لولب ثيودوروس”، يتضح أنه يمكننا المضي قدماً لتمثيل الجذر التربيعي لأي عدد كلي مهما كان، محولين بذلك مفهوماً جبرياً مجرداً إلى حقيقة هندسية ملموسة ومرئية.