بين ما إذا كان المستقيمان: ص= -٦س + ٨ ، ٣س+ ١/٢ص= -٣ متوازيين ، أم متعامدين، أم غير ذلك وفسر إجابتك

السؤال: بين ما إذا كان المستقيمان: ص= -٦س + ٨ ، ٣س+ ١/٢ص= -٣ متوازيين ، أم متعامدين، أم غير ذلك وفسر إجابتك

• الإجابة: المستقيمان متوازيان؛ لأن لهما الميل نفسه ويساوي (-6).

شرح الإجابة:

لتحديد طبيعة العلاقة بين أي مستقيمين في المستوى الإحداثي، سواء أكانت توازيًا أم تعامدًا أم تقاطعًا غير ذلك، فإن المفتاح الجوهري يكمن في مفهوم “الميل”. فالميل، أو ما يُعرف بمعامل الانحدار، هو القيمة العددية التي تصف درجة ميلان الخط المستقيم، وهو الحكم الفصل في هذه المسألة. بناءً على ذلك، فإن مهمتنا الأساسية هي استخلاص قيمة الميل من كل معادلة على حدة.

بالنظر إلى المعادلة الأولى، ص = -٦س + ٨، نجد أنها مكتوبة بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب) مباشرة. في هذه الصيغة النموذجية، يمثل الرمز “م” ميل المستقيم، بينما يمثل “ب” نقطة تقاطعه مع المحور الصادي. وعليه، يتجلى لنا بوضوح أن ميل المستقيم الأول هو -٦ دون الحاجة إلى أي عمليات حسابية إضافية.

ننتقل الآن إلى المعادلة الثانية، ٣س + ١/٢ص = -٣. هذه الصيغة ليست مباشرة وتحتاج إلى إعادة ترتيب وهيكلة لكي نتمكن من كشف قيمة ميلها الحقيقي. الهدف هو عزل المتغير “ص” في طرف بمفرده، تمامًا كما في الصيغة القياسية. نبدأ بطرح “٣س” من كلا الطرفين، فتصبح المعادلة: ١/٢ص = -٣س – ٣. لكننا لم ننتهِ بعد، إذ يجب أن يكون معامل “ص” واحدًا صحيحًا. لذا، نقوم بضرب طرفي المعادلة بالكامل في العدد ٢، مما يقودنا إلى الصورة النهائية: ص = -٦س – ٦.

والآن، بعد أن أصبحت المعادلة الثانية في صيغة الميل والمقطع القياسية، يمكننا بسهولة تحديد ميلها. من خلال مقارنتها بالصيغة (ص = م س + ب)، نكتشف أن ميل المستقيم الثاني هو أيضًا -٦. هنا تكمن لحظة الحسم، حيث نضع الميلين وجهًا لوجه للمقارنة.

القاعدة الرياضية الأساسية في هذا الشأن تقول: إذا تساوى ميل مستقيمين، فإنهما حتمًا متوازيان، أي أنهما يسيران في مسارين متجاورين إلى ما لا نهاية دون أن يلتقيا أبدًا. وبما أن ميل المستقيم الأول (-٦) يطابق تمامًا ميل المستقيم الثاني (-٦)، فإن الاستنتاج المنطقي والوحيد هو أن هذين المستقيمين متوازيان. فالتطابق في درجة الميلان هو الدليل القاطع على توازيهما.