بين ما اذا كانت العبارة التالية صحيحة أم خاطئة وإذا كانت خاطئة فأعط مثالا مضادا القيمة المطلقة لكل عدد صحيح موجبة

تحد: بين ما اذا كانت العبارة التالية صحيحة أم خاطئة وإذا كانت خاطئة فأعط مثالا مضادا : القيمة المطلقة لكل عدد صحيح موجبة

• الإجابة: العبارة خاطئة، والمثال المضاد هو الصفر.

شرح الإجابة :

إن مفهوم القيمة المطلقة يرتبط في جوهره بفكرة المسافة على خط الأعداد. فعندما نتناول أي عدد صحيح، فإن قيمته المطلقة تمثل بعده عن نقطة الأصل، أي الصفر، بصرف النظر عن اتجاهه يميناً أو يساراً. لهذا السبب، فإن القيمة المطلقة للعدد 7 هي 7، والقيمة المطلقة للعدد -7 هي 7 أيضاً، فكلاهما يبعد سبع وحدات عن الصفر. هذا التصور الأولي قد يوحي بأن النتيجة النهائية هي دائماً عدد موجب.

ومع ذلك، فإن التعميم الدقيق يتطلب فحص كل الحالات الممكنة دون استثناء. إن عبارة “لكل عدد صحيح” تجبرنا على التفكير في جميع الأعداد ضمن هذه المجموعة العددية، بما في ذلك الأعداد الموجبة والسالبة، وهنا يكمن مفتاح الحل. إن القاعدة التي تحول السالب إلى موجب تعمل بكفاءة، لكنها لا تغطي السيناريو الكامل، إذ يوجد عنصر فريد يتصرف بشكل مختلف.

وهنا يبرز دور العدد صفر كحالة خاصة وحاسمة في هذا السياق. فالصفر هو عدد صحيح بحد ذاته، لكنه لا يُصنف على أنه موجب ولا سالب؛ إنه العنصر المحايد الذي يفصل بين مجموعتين. عندما نطبق عليه قاعدة القيمة المطلقة، فإننا نسأل: ما هي المسافة بين الصفر ونفسه على خط الأعداد؟ الإجابة بداهةً هي صفر، فليس هناك أي بعد أو مسافة.

بناءً على ما سبق، فإن ناتج القيمة المطلقة للصفر هو صفر (|0| = 0). وحيث إن الصفر ليس عدداً موجباً، فقد وجدنا استثناءً واحداً ينقض العبارة الأصلية بالكامل. في عالم المنطق الرياضي، يكفي وجود مثال مضاد واحد فقط لإثبات خطأ أي تعميم شامل. وبالتالي، فإن القول بأن القيمة المطلقة “لكل” عدد صحيح هي موجبة هو قول غير دقيق.

الخلاصة الدقيقة إذن، هي أن القيمة المطلقة لأي عدد صحيح هي دائماً قيمة “غير سالبة”. هذا التعبير، الأعداد غير السالبة، أشمل وأدق لأنه يضم كلاً من الأعداد الموجبة والصفر معاً. هذا التمييز بين “الموجب” و”غير السالب” هو من أساسيات الدقة في الرياضيات، وهو ما يجعل من الصفر تلك الحالة المحورية التي تفصل بين الصحة والخطأ في هذا التحدي الفكري.