السؤال: تظهر على واجهة منزل عارضتان خشبيتان مثلث إحداهما بالقطعة المستقيمة ك ر التي طرفاها ك(-6 ، 2) ، ر(-1 ، 8) ، ومثلث العارضة المتصلة بها بالقطعة المستقيمة س ت التي طرفاها س(-3 ، 6) ، ت(-8 ، 5) فهل هاتان العارضتان متعامدتان؟ وضح إجابتك.
- الإجابة: العارضتان ليستا متعامدتين؛ لأن حاصل ضرب ميليهما لا يساوي -1.
شرح الإجابة:
للحكم على ما إذا كانت هاتان العارضتان الخشبيتان تشكلان زاوية قائمة، أي أنهما متعامدتان، يتعين علينا اللجوء إلى لغة الهندسة الإحداثية، وتحديداً مفهوم “ميل المستقيم”. فالميل هو القيمة العددية التي تصف درجة انحدار أي قطعة مستقيمة، ويُعد الأداة الحاسمة في هذه المسألة. القاعدة الهندسية الثابتة تنص على أن المستقيمين يكونان متعامدين فقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد (-1).
نبدأ أولاً بحساب ميل العارضة الأولى، الممثلة بالقطعة المستقيمة (ك ر). بالاستناد إلى قانون الميل الذي هو (فرق الإحداثيات الصادية مقسوماً على فرق الإحداثيات السينية)، نطبق ذلك على النقطتين ك(-6 ، 2) و ر(-1 ، 8). يكون الحساب كالتالي: ميل (ك ر) = (8 – 2) / (-1 – (-6)) = 6 / (-1 + 6) = 6/5. إذن، درجة ميلان العارضة الأولى هي 6/5.
ننتقل بالمنطق ذاته إلى العارضة الثانية، الممثلة بالقطعة المستقيمة (س ت)، ونطبق عليها نفس المنهجية الحسابية. بمعلومية النقطتين س(-3 ، 6) و ت(-8 ، 5)، فإن ميل (س ت) = (5 – 6) / (-8 – (-3)) = -1 / (-8 + 3) = -1 / -5 = 1/5. وبذلك، تكون درجة انحدار العارضة الثانية هي 1/5.
وهنا نصل إلى المحك الفاصل واللحظة الحاسمة، ألا وهي اختبار شرط التعامد. نقوم بضرب الميلين اللذين توصلنا إليهما: (ميل ك ر) × (ميل س ت) = (6/5) × (1/5) = 6/25. إن ناتج عملية الضرب هو 6/25، وهذه القيمة لا تساوي -1 بأي حال من الأحوال. وبناءً على هذه النتيجة الرياضية القاطعة، نستنتج بشكل لا يقبل الشك أن العارضتين (ك ر) و (س ت) ليستا متعامدتين على واجهة المنزل.