السؤال: حدد ما إذا كانت التمثيلات البيانية للمستقيمات الآتية متوازية أم متعامدة وفسر إجابتك: 6س – 2ص = -2 ، ص = 3س – 4 ، ص = 4
- الإجابة: المستقيمان الممثلان بالمعادلتين ٦س – ٢ص = –٢ وَ ص = ٣س – ٤ هما مستقيمان متوازيان؛ لأن درجة ميلان كل منهما تساوي ٣، بينما لا يوجد أي مستقيمين متعامدين ضمن المعادلات الثلاث.
شرح الإجابة:
لفك شفرة العلاقة الهندسية بين هذه المستقيمات الثلاثة، سواء أكانت توازيًا أم تعامدًا، لا بد لنا من استخلاص العنصر الجوهري الذي يحدد سلوك كل خط بياني، ألا وهو “الميل”. إن الميل ليس مجرد رقم، بل هو البصمة التي تكشف اتجاه المستقيم ومقدار انحداره. وعليه، فإن مهمتنا الأولى تتمثل في تحديد ميل كل مستقيم على حدة.
بالنظر إلى المعادلة الأولى، ص = 3س – 4، نجد أنها مصاغة بالفعل على هيئة “صيغة الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، حيث يمثل الرمز “م” قيمة الميل مباشرة. ومن هنا، يتضح جليًا أن ميل هذا المستقيم هو 3. أما المعادلة الثانية، 6س – 2ص = -2، فتتطلب منا بعض المعالجة الجبرية لإعادة ترتيبها وعزل المتغير “ص” في طرف بمفرده. نبدأ بنقل “6س” إلى الطرف الآخر فتصبح المعادلة: -2ص = -6س – 2. ومن ثم، بقسمة جميع الحدود على -2، نصل إلى الصورة النهائية: ص = 3س + 1. لقد كشفت هذه العملية أن معامل الانحدار لهذا المستقيم هو 3 أيضًا.
وهنا نصل إلى نقطة حاسمة، حيث إن المستقيمين الأول والثاني يتشاركان القيمة ذاتها للميل، وهي 3. القاعدة الأساسية في الهندسة التحليلية تقضي بأن أي مستقيمين يمتلكان نفس درجة الميلان ولا ينطبقان على بعضهما هما بالضرورة متوازيان، أي أنهما يسيران في مسارات متطابقة لا تتقاطع أبدًا. بناءً على ذلك، نستنتج بثقة أن المستقيمين (ص = 3س – 4) و(6س – 2ص = -2) متوازيان.
يبقى أمامنا المستقيم الثالث والأخير، والمعبر عنه بالمعادلة البسيطة ص = 4. هذه المعادلة تمثل خطًا أفقيًا تمامًا، أي أنه لا يرتفع ولا ينخفض مهما تغيرت قيمة “س”. في لغة الرياضيات، يعني هذا أن معدل تغيره الرأسي صفر، وبالتالي فإن ميله يساوي 0. الآن، لنتفحص شرط التعامد. لكي يتعامد مستقيمان، يجب أن يكون حاصل ضرب ميليهما يساوي -1. عند اختبار هذه القاعدة على أزواج المستقيمات المتاحة لدينا (3 × 3 = 9 ؛ 3 × 0 = 0)، يتأكد لنا عدم تحقق هذا الشرط في أي حالة. إذن، لا توجد أي علاقة تعامد بين هذه الخطوط البيانية الثلاثة.