حدد ما إذا كان المثلث الذي أطوال أضلاعه 20 سم ، 48 سم ، 52 سم قائم الزاوية أم لا وتحقق من إجابتك

السؤال: حدد ما إذا كان المثلث الذي أطوال أضلاعه 20 سم ، 48 سم ، 52 سم قائم الزاوية أم لا وتحقق من إجابتك.

• الإجابة: نعم، المثلث قائم الزاوية، والتحقق من ذلك يثبت أن (٢٠)² + (٤٨)² = (٥٢)².

شرح الإجابة:

إن الحكم على طبيعة أي مثلث هندسي لا يعتمد على التخمين، بل يستند إلى قواعد رياضية راسخة. والفيصل في هذه المسألة يكمن في تطبيق عكس نظرية فيثاغورس، وهي علاقة رياضية دقيقة تُستخدم لتحديد ما إذا كانت زاوية في مثلث ما قائمة أم لا. تنص هذه القاعدة الجوهرية على أنه إذا كان مربع طول الضلع الأطول في المثلث مساوياً لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث حتماً قائم الزاوية.

وبناءً على هذا المبدأ، نبدأ بتحليل الأبعاد المعطاة: 20 سم، 48 سم، 52 سم. في أي مثلث قائم الزاوية، يُعرف الضلع الأطول باسم “الوتر”، وهو الذي يقابل الزاوية القائمة. وعليه، فإن الضلع الذي يبلغ طوله 52 سم هو المرشح ليكون الوتر، بينما يمثل الضلعان 20 سم و 48 سم الساقين أو ضلعي القائمة. الآن، ننتقل إلى مرحلة التحقق الحسابي لاختبار صحة هذه الفرضية.

نبدأ أولاً بحساب مجموع مربعي الضلعين القصيرين. مربع الضلع الأول هو (20 × 20) والذي يساوي 400، ومربع الضلع الثاني هو (48 × 48) والذي يساوي 2304. عند جمعهما معاً، نحصل على الناتج: 400 + 2304 = 2704. الخطوة التالية، وبشكل مستقل، هي حساب مربع طول الضلع الأطول، أي الوتر المحتمل. مربع الضلع 52 هو (52 × 52)، والذي يعطينا أيضاً الناتج 2704.

وهنا تكمن الحقيقة الحاسمة. بما أن مجموع مربعي الساقين (2704) يتطابق تماماً مع مربع الوتر (2704)، فإن المعادلة (٢٠)² + (٤٨)² = (٥٢)² قد تحققت بالكامل. هذه المساواة الدقيقة ليست مجرد مصادفة رقمية، بل هي البصمة الهندسية التي تؤكد بشكل قاطع أن المثلث قائم الزاوية. وبالتالي، نستنتج بيقين رياضي أن المثلث المحدد بهذه الأطوال هو بالفعل مثلث قائم الزاوية، وتقع الزاوية القائمة التي قياسها 90 درجة في الجهة المقابلة للضلع الذي يبلغ طوله 52 سم.