حديقة على شكل مضلع رباعي رؤوسه أ(-2 ، 1)، ب(3 ، -3)، ج(5 ، 7)، د(-3 ، 4) يقطعها الممران أ ج ، ب د. فهل هذان الممران متعامدان؟ فسّر إجابتك

السؤال: حديقة على شكل مضلع رباعي رؤوسه أ(-2 ، 1)، ب(3 ، -3)، ج(5 ، 7)، د(-3 ، 4) يقطعها الممران أ ج ، ب د. فهل هذان الممران متعامدان؟ فسّر إجابتك.

• الإجابة: نعم، الممران متعامدان؛ لأن ميل الممر الأول (أ ج) هو ٦/٧، وميل الممر الثاني (ب د) هو –٧/٦، وحاصل ضرب الميلين يساوي –١.

شرح الإجابة:

للوصول إلى حقيقة ما إذا كان الممران متعامدين أم لا، يتعين علينا أولاً فهم الأداة الرياضية التي تكشف هذه العلاقة، وهي “الميل”. يمثل ميل أي خط مستقيم مقدار انحداره، وهو ما يحدد اتجاهه في المستوى الإحداثي. فالقضية هنا ليست مجرد تخمين بصري، بل هي استنتاج مبني على حسابات دقيقة لا تقبل الجدل.

نبدأ رحلتنا بتحليل الممر الأول الذي يربط بين النقطتين (أ) و(ج). لحساب ميله، نطبق القاعدة الأساسية وهي قسمة الفرق في الإحداثيات الصادية على الفرق في الإحداثيات السينية. بالنظر إلى النقطتين أ(-2 ، 1) و ج(5 ، 7)، يكون ميل المستقيم (أ ج) هو (7 – 1) مقسومًا على (5 – (-2))، مما ينتج عنه 6 مقسومًا على 7. إذن، ميل الممر الأول هو ٦/٧.

وبالانتقال إلى الممر الثاني الذي يصل بين النقطتين (ب) و(د)، نتبع الإجراء ذاته. لدينا النقطتان ب(3 ، -3) و د(-3 ، 4). وعليه، يكون ميل المستقيم (ب د) هو (4 – (-3)) مقسومًا على (-3 – 3)، وهو ما يساوي 7 مقسومًا على -6. وبالتالي، فإن ميل الممر الثاني هو –٧/٦.

وهنا نصل إلى مفصل الحل ومحور الإجابة. في عالم الهندسة التحليلية، يوجد شرط صارم وواضح لتعامد مستقيمين: يجب أن يكون حاصل ضرب ميليهما مساويًا للعدد (–١) بالضبط. فلنختبر هذا الشرط على الممرين في حديقتنا. نقوم بضرب ميل الممر الأول (٦/٧) في ميل الممر الثاني (–٧/٦)، فنجد أن الناتج هو –٤٢/٤٢، وهو ما يساوي –١.

بناءً على هذه النتيجة الرقمية القاطعة، وبما أن حاصل ضرب ميل الممر (أ ج) في ميل الممر (ب د) يساوي –١، فإننا نستنتج بيقين رياضي أن الممرين متعامدان بالفعل. هذا يعني أنهما يتقاطعان ليكوّنا زاوية قائمة تمامًا، تمامًا كما تلتقي حواف المربع عند إحدى زواياه.