حل المعادلة ٢/٣ = ص + ١/٤ وتحقق من صحة الحل

السؤال: حل المعادلة ٢/٣ = ص + ١/٤ وتحقق من صحة الحل

• الإجابة: قيمة المتغير ص هي ٥/١٢.

شرح الإجابة:

إن جوهر أي معادلة رياضية يكمن في كونها ميزانًا دقيقًا، حيث تتساوى الكفة اليمنى مع الكفة اليسرى. في معادلتنا هذه، ٢/٣ = ص + ١/٤، الهدف الأساسي هو كشف قيمة المجهول “ص”، أي عزله في كفة بمفرده لنعرف ما يوازنه في الكفة الأخرى. لتحقيق هذا العزل، يتوجب علينا التخلص من العدد “١/٤” الذي يقف بجانبه، وذلك عبر إجراء عملية معاكسة للجمع، وهي الطرح.

من هذا المنطلق، وبناءً على مبدأ التوازن المطلق للمعادلات، فإن أي إجراء نتخذه على أحد طرفي المعادلة، لا بد أن نطبقه بحذافيره على الطرف الآخر للحفاظ على صحة التساوي. لذلك، نقوم بطرح الكسر “١/٤” من كلا الطرفين. ينتج عن هذه الخطوة أن المعادلة تتحول إلى صيغة جديدة أكثر وضوحًا: ٢/٣ – ١/٤ = ص. لقد نجحنا الآن في عزل المتغير “ص”، وباتت المهمة التالية هي حساب قيمة الطرف الأيسر.

وهنا تبرز أمامنا عقبة حسابية تتمثل في اختلاف مقامات الكسور؛ فلا يمكننا جمع أو طرح كسور ذات مقامات متباينة مباشرةً. يتطلب الأمر أولًا إيجاد قاسم مشترك لهما، أو ما يعرف بـ “توحيد المقامات”. من خلال البحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٣ و ٤، نجد أنه العدد ١٢. هذا الرقم سيصبح هو المقام الموحد الجديد الذي سيمكننا من إتمام عملية الطرح بسلاسة.

لتحويل الكسر الأول “٢/٣”، نضرب بسطه ومقامه في العدد ٤، لنحصل على كسر مكافئ وهو “٨/١٢”. وبالمثل، نحول الكسر الثاني “١/٤” عبر ضرب بسطه ومقامه في العدد ٣، لنحصل على الكسر المكافئ “٣/١٢”. الآن، وبعد أن أصبحت المقامات متجانسة، تغدو عملية الطرح ممكنة ومباشرة: ٨/١٢ – ٣/١٢ = ٥/١٢. وبذلك، نصل إلى الاستنتاج بأن قيمة ص النهائية هي ٥/١٢.

أما عن المرحلة الأخيرة، وهي مرحلة التحقق الحاسمة، فهي تمثل برهانًا قاطعًا على دقة استنتاجنا. نعود إلى المعادلة الأصلية ونستبدل المتغير “ص” بالقيمة التي توصلنا إليها، فتصبح المعادلة: ٢/٣ = ٥/١٢ + ١/٤.

الآن، ينصب تركيزنا على الطرف الأيمن لإثبات أنه يساوي بالفعل “٢/٣”. مجددًا، نوحد المقامات في الطرف الأيمن باستخدام المقام ١٢، فيتحول الكسر “١/٤” إلى “٣/١٢”، لتصبح العملية: ٥/١٢ + ٣/١٢، والناتج هو “٨/١٢”. بتبسيط هذا الكسر الأخير عن طريق قسمة البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر وهو ٤، نحصل على “٢/٣”. بما أن الطرفين قد تساويا تمامًا (٢/٣ = ٢/٣)، فهذا يؤكد بشكل نهائي أن الحل صحيح لا تشوبه شائبة.