حل المعادلة ٨ل + ٣ = ٥ل + ٩ وتحقق من صحة الحل

السؤال: حل المعادلة ٨ل + ٣ = ٥ل + ٩ وتحقق من صحة الحل

• الإجابة:قيمة المتغير ل هي ٢.

شرح الإجابة:

إن التعامل مع المعادلات الجبرية يشبه إلى حد بعيد ضبط ميزان دقيق ذي كفتين؛ فالعلامة (=) هي نقطة الارتكاز، ومهمتنا الأساسية هي الحفاظ على توازن هذا الميزان في كل خطوة. الهدف الأسمى هو عزل القيمة المجهولة “ل” في كفة بمفردها، ووضع الأعداد المعلومة في الكفة الأخرى، لنكتشف في نهاية المطاف قيمتها الحقيقية.

ومن هنا ننطلق في رحلتنا المنطقية نحو الحل. نلاحظ وجود المتغير “ل” في كلا طرفي المعادلة (٨ل في اليمين و ٥ل في اليسار). لتيسير المسألة، لا بد من تجميع هذه الحدود المتشابهة في طرف واحد. الأسلوب الأمثل لذلك هو التخلص من الحد الأصغر، وهو “٥ل”. وبما أن إشارته موجبة، فإننا نلجأ إلى العملية العكسية، وهي الطرح. نطرح إذن ٥ل من كلا الطرفين للحفاظ على التوازن، فتصبح المعادلة: ٨ل – ٥ل + ٣ = ٥ل – ٥ل + ٩. ينتج عن هذه الحركة الاستراتيجية معادلة أبسط كثيراً: ٣ل + ٣ = ٩.

والآن، بعد أن حصرنا المتغير في طرف واحد، تأتي الخطوة المنطقية التالية، وهي نقل العدد الثابت (+٣) من جانب المتغير إلى الجانب الآخر. مرة أخرى، نطبق مبدأ العملية العكسية، فنطرح العدد ٣ من كلا الكفتين للحفاظ على استقامة الميزان. تصبح المعادلة على هذا النحو: ٣ل + ٣ – ٣ = ٩ – ٣، وهو ما يقودنا مباشرةً إلى صيغة أكثر وضوحاً: ٣ل = ٦. لقد اقتربنا من كشف النقاب عن قيمة “ل”.

نصل إلى المرحلة النهائية في استخلاص قيمة المتغير. المعادلة ٣ل = ٦ تعني ببساطة أن ثلاثة أضعاف القيمة “ل” تساوي ٦. ولكي نجد قيمة “ل” الواحدة، لا بد من تفكيك هذه العلاقة الضربِيّة. العملية المعاكسة للضرب في ٣ هي القسمة على ٣. وعليه، نقسم كلا طرفي المعادلة على معامل المتغير، أي العدد ٣. فتكون النتيجة الحاسمة: ل = ٦ ÷ ٣، ومنها نصل إلى أن قيمة ل تساوي ٢.

لكن المهمة لا تنتهي هنا، بل تبدأ مرحلة التثبت واليقين، وهي التحقق من صحة الحل. هذه الخطوة ليست تكميلية، بل هي جوهر الدقة الرياضية، فهي التي تؤكد أن عملنا كان سليماً منذ البداية. للقيام بذلك، نعوض القيمة التي حصلنا عليها (ل=٢) في المعادلة الأصلية تماماً: ٨ل + ٣ = ٥ل + ٩. إذا تساوى الطرفان بعد التعويض، فحلنا صحيح لا يقبل الشك.

دعنا نختبر ذلك عملياً. نعوض في الطرف الأيمن: ٨(٢) + ٣، والناتج هو ١٦ + ٣ = ١٩. ثم نعوض في الطرف الأيسر: ٥(٢) + ٩، والناتج هو ١٠ + ٩ = ١٩. بما أن الطرف الأيمن (١٩) قد تساوى مع الطرف الأيسر (١٩)، فهذا برهان قاطع على أن الحل ل=٢ هو الإجابة الصحيحة والدقيقة لهذه المعادلة.