صف موقفا من واقع الحياة يتضمن معدلا ثابتا للتغير وقيمة للمتغير ص تقابل قيمة محددة للمتغير س، ومثل هذا الموقف باستعمال معادلة خط مستقيم

السؤال: صف موقفا من واقع الحياة يتضمن معدلا ثابتا للتغير وقيمة للمتغير ص تقابل قيمة محددة للمتغير س، ومثل هذا الموقف باستعمال معادلة خط مستقيم بصيغة الميل ونقطة وبصيغة الميل والمقطع

• الإجابة: أنفق علي 14 ريالاً في مدينة ألعاب، وقد اشتمل هذا المبلغ على رسم الدخول مضافاً إليه تكلفة 5 ألعاب، حيث يبلغ سعر اللعبة الواحدة ريالين. يمكن تمثيل هذا الموقف رياضياً كالتالي:المعادلة بصيغة الميل ونقطة هي: ص – ١٤ = ٢(س – ٥)والمعادلة بصيغة الميل والمقطع هي: ص = ٢س + ٤.

شرح الإجابة:

دعنا نتأمل هذا المشهد من الحياة اليومية لنستخرج منه علاقة رياضية دقيقة. إن فهم الرياضيات لا يكمن في حفظ القوانين، بل في القدرة على رؤيتها وهي تتجلى في واقعنا. الموقف المذكور يمثل علاقة خطية مثالية، حيث توجد تكلفة متغيرة تتبع نمطاً ثابتاً، وتكلفة أولية لا تتغير.

في البداية، لا بد من تحديد أطراف هذه العلاقة. لدينا متغيران أساسيان: الأول هو عدد الألعاب التي يختارها علي، وسنرمز له بالمتغير المستقل (س)، لأنه العنصر الذي يمكن التحكم فيه وتغييره. أما الثاني، فهو المبلغ الإجمالي الذي يتم إنفاقه، وسنرمز له بالمتغير التابع (ص)، لأن قيمته النهائية تعتمد بشكل مباشر على عدد الألعاب التي تم لعبها.

وهنا نصل إلى جوهر المسألة، وهو “المعدل الثابت للتغير”. هذا المفهوم، الذي يُعرف في عالم الرياضيات باسم “الميل” (م)، يمثل في مثالنا سعر اللعبة الواحدة. فكلما أضاف علي لعبة جديدة، زادت التكلفة الإجمالية بمقدار ثابت ومنتظم هو ريالان. إذن، قيمة الميل في هذه العلاقة الخطية هي (م = 2). وبحوزتنا معلومة محددة، وهي أن لعب 5 ألعاب (س=5) أدى إلى تكلفة إجمالية قدرها 14 ريالاً (ص=14)، وهذه المعلومة تمثل نقطة إحداثية واضحة على الخط المستقيم وهي (5، 14).

بامتلاكنا الآن ميلاً (م=2) ونقطة (5، 14)، يمكننا صياغة معادلة هذا الموقف بصيغة “الميل ونقطة”، والتي تأخذ الهيكل التالي: ص – ص₁ = م(س – س₁). عند تعويض قيمنا، تنتج المعادلة: ص – 14 = 2(س – 5). هذه الصياغة الرياضية تصف الموقف بناءً على حدث معين وموثق، وهو إنفاق 14 ريالاً مقابل 5 ألعاب.

ولكن، ماذا لو أردنا استخلاص معادلة أكثر عمومية تكشف لنا عن التكلفة الأولية الثابتة؟ هنا ننتقل إلى صيغة “الميل والمقطع” (ص = م س + ب)، وذلك عبر تبسيط المعادلة السابقة. بتوزيع الرقم 2 على القوس نحصل على: ص – 14 = 2س – 10. ثم، بإضافة 14 إلى طرفي المعادلة، نصل إلى شكلها النهائي: ص = 2س + 4. هذه المعادلة الجديدة لا تزال تصف نفس الموقف بدقة، لكنها تكشف عن حقيقة جوهرية جديدة: الرقم 4، الذي يمثل “المقطع الصادي” (ب)، هو في الحقيقة القيمة التي تكون عليها (ص) عندما تكون (س) تساوي صفراً. وبتطبيق هذا على واقعنا، فإنها تمثل “رسم الدخول” لمدينة الألعاب، وهي التكلفة الثابتة التي يجب دفعها حتى قبل البدء في أي لعبة.