صمم مهندس رسما لحديقة رباعية الشكل احداثيات رؤوسها

السؤال: صمم مهندس رسماً لحديقة رباعية الشكل إحداثيات رؤوسها هي (A(-2,1), B(3,-3), C(5,7), D(-3,4)). إذا تم رسم ممرين يمثلان القطعتين المستقيمتين AC و AD، فهل هذان الممران متعامدان؟ فسّر إجابتك

• الإجابة: لا، الممران AC و AD غير متعامدين.

شرح الإجابة:

لنفهم جوهر المسألة، يتعين علينا أولاً أن نغوص في مفهوم أساسي في الهندسة التحليلية، وهو العلاقة بين ميل المستقيمات المتعامدة. القاعدة الذهبية هنا تقول: يكون مستقيمان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميلهما يساوي سالب واحد (-1). هذا المبدأ هو المفتاح الذي سيفتح لنا باب الحل، حيث سنستخدمه كمعيار دقيق للحكم على طبيعة العلاقة بين الممرين.

وبناءً على هذه القاعدة، نبدأ رحلتنا بحساب ميل الممر الأول، وهو الممر AC، الذي يصل بين النقطتين (A(-2,1 و (C(5,7. من خلال تطبيق قانون الميل، الذي ينص على أنه “فرق الصادات على فرق السينات”، نجد أن ميل الممر AC يساوي (7 – 1) مقسوماً على (5 – (-2))، مما يعطينا ناتجاً قدره 6 على 7. هذه القيمة تمثل درجة انحدار الممر الأول.

ننتقل الآن بخطوة مماثلة إلى الممر الثاني، AD، لنكشف عن ميله هو الآخر، وهو يصل بين النقطتين (A(-2,1 و (D(-3,4. باستخدام نفس القانون الهندسي، نحسب الميل لنجد أنه (4 – 1) مقسوماً على (-3 – (-2))، والنتيجة هي 3 على -1، أي أن ميل الممر AD يساوي سالب ثلاثة (-3). وبذلك نكون قد حددنا ميل الممر الثاني أيضاً.

وهنا نصل إلى لحظة الحسم، حيث نضع النتيجتين تحت مجهر الاختبار النهائي. نقوم بضرب ميل الممر الأول (6/7) في ميل الممر الثاني (-3)، فيكون حاصل الضرب هو (-18/7). وبما أن هذا الناتج لا يساوي سالب واحد، فإننا نستنتج بشكل قاطع أن الشرط الأساسي للتعامد لم يتحقق. وعليه، فإن الممرين AC و AD ليسا متعامدين، وهذا هو التفسير الهندسي الدقيق للإجابة.